A potência de saída de um motor de um bonde elétrico é uma função da velocidade e é dada por
, onde
e
são constantes e
para
. (a) Para que velocidade, a potência de saída é máxima? (b) Qual é a potência máxima? © Para que velocidade, a potência de saída é metade da potência máxima?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a potência de saída do motor é
onde
e
são constantes e
se
.
A matéria é Cálculo Diferencial: vamos usar derivada para achar máximos e depois resolver uma equação para a metade da potência máxima. Não vou pular nada: explico o que é derivada, como achar extremos, e até como tratar a equação da parte ©.
A matéria é Cálculo Diferencial: vamos usar derivada para achar máximos e depois resolver uma equação para a metade da potência máxima. Não vou pular nada: explico o que é derivada, como achar extremos, e até como tratar a equação da parte ©.
Passo 2
Queremos achar a velocidade
que maximiza
.
- Teoria: um ponto crítico de uma função se dá quando a derivada é zero, pois aí ela muda de crescente para decrescente.
- Calculando a derivada de
usamos produto:
- Para ter máximo, impomos
:
considerando só
, porque velocidade negativa não faz sentido aqui.
Passo 3
Agora, para achar a potência máxima, basta substituir
em
:
Passo 4
Pra parte ©, queremos as velocidades que deixam
Divide por
e põe
(com
):
Isso vira uma equação cúbica em
. Os dois
que satisfazem são aproximadamente
Logo as velocidades são
Resposta
(a)
.
(b) .
© ou
.
(b)
©