A potência de saída de um motor de um bonde elétrico é uma função da velocidade e é dada por P(v)=av(b-v^2), onde a e b são constantes e P=0 para v^2>b. (a) Para que velocidade, a potência de saída é máxima? (b) Qual é a potência máxima? © Para que velocidade, a potência de saída é metade da potência máxima?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a potência de saída do motor é
P(v)=a,v,(b-v^2),,
onde e são constantes e se .
A matéria é Cálculo Diferencial: vamos usar derivada para achar máximos e depois resolver uma equação para a metade da potência máxima. Não vou pular nada: explico o que é derivada, como achar extremos, e até como tratar a equação da parte ©.

Passo 2

Queremos achar a velocidade P(v)=a,v,(b-v^2) que maximiza P'(v) =;a,(b-v^2);+;a,v;(-2v) =al(b-v^2-2v^2r) =al(b-3v^2r) .
  1. Teoria: um ponto crítico de uma função se dá quando a derivada é zero, pois aí ela muda de crescente para decrescente.
  2. Calculando a derivada de
a(b-3v^2)=0 ;Longrightarrow; b-3v^2=0 ;Longrightarrow; v^2=b3 ;Longrightarrow; boxedv=raizb3,,
usamos produto:
  1. Para ter máximo, impomos :
considerando só , porque velocidade negativa não faz sentido aqui.

Passo 3

Agora, para achar a potência máxima, basta substituir Pmax =P!l(raiztfrac b3r) =a;raiztfrac b3;l(b-tfrac b3r) =a;raiztfrac b3;2b3 =2ab3,raiz b3 =boxed2a,b^3/23raiz3, em :

Passo 4

Pra parte ©, queremos as velocidades que deixam
P(v)=12,Pmax ;Longrightarrow; a,v,(b-v^2) =12;2a,b^3/23raiz3 =a,b^3/23raiz3
Divide por xraiz bl(b - x^2br) =b^3/2,x(1-x^2) ;=;b^3/23raiz3 ;Longrightarrow; x(1-x^2)=13raiz3 e põe x1approx0,20, x2approx0,89 (com boxedv1approx0,20,raiz b e v2approx0,89,raiz b ):
Isso vira uma equação cúbica em . Os dois que satisfazem são aproximadamente
Logo as velocidades são

Resposta

(a) .
(b) .
© ou .

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