(Potencial - similar) Um dipolo com cargas \pm q separadas por 2 a. No ponto do eixo do dipolo a distância x \gg a, mostre que V(x) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 q a}{x^{2}} e indique o sinal quando +q está à direita.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, para um dipolo com cargas \pm q separadas por 2a, que no ponto sobre o eixo do dipolo à distância x com x \gg a vale
V(x) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{2 q a}{x^{2}},
e que indiquemos o sinal quando a carga +q está à direita.
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente: \pm q separadas por 2a; ponto sobre o eixo do dipolo a uma distância x do centro; regime de aproximação x\gg a. Não vamos assumir nada além disso neste passo.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples: centro do dipolo na origem. Coloco +q em x=+a e -q em x=-a. O ponto de observação está no eixo x em x (com x>0 e x\gg a). Distâncias da observação às cargas são
r_{+}=x-a,\qquad r_{-}=x+a.
Lembrete da física útil aqui (explicação didática): o potencial eletrostático de uma carga pontual Q a uma distância r é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, Q é a carga e r é a distância entre carga e ponto. Como o potencial é escalar, aplicamos o princípio da superposição: somamos os potenciais gerados por cada carga.

Passo 3

Escrevo o potencial total somando contribuição das duas cargas:
V(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigg(\frac{q}{r_{+}}+\frac{-q}{r_{-}}\Bigg) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigg(\frac{q}{x-a}-\frac{q}{x+a}\Bigg).
Fatorando q:
V(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right).
Agora eu junto as frações para simplificar:
\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}=\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}=\frac{2a}{x^{2}-a^{2}}.
Portanto, exatamente,
V(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2 q a}{x^{2}-a^{2}}.

Passo 4

Agora faço a aproximação para x\gg a. Introduzo a pequena quantidade \epsilon=\frac{a}{x} com \epsilon\ll1. Então
x^{2}-a^{2}=x^{2}\big(1-\epsilon^{2}\big).
Para \epsilon\ll1 temos 1/(1-\epsilon^{2})\approx 1+\epsilon^{2}+\cdots, logo, ao primeiro ordem,
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\approx\frac{1}{x^{2}}.
Aplicando isso na expressão exata, obtemos a aproximação de ordem dominante
V(x)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2 q a}{x^{2}}.
(Alternativa similar e útil para provas: expandir 1/(x\pm a)=(1/x)(1\mp a/x+\cdots). Subtraindo as duas séries, os termos de ordem 1/x cancelam e o termo líder resultante é 2a/x^{2}, chegando ao mesmo resultado.)

Passo 5

Interpretação em termos do momento de dipolo: o momento de dipolo (magnitude) é \,p=q(2a)\,. Substituindo, a expressão pode ser escrita como
V(x)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p}{x^{2}}.
Isso coincide com a forma geral no eixo do dipolo distante, onde o sinal depende do alinhamento do momento de dipolo e do ponto de observação.

Passo 6

Determinar o sinal quando +q está à direita: com a convenção que usei ( +q em x=+a e ponto de observação em x>0), a expressão que obtivemos é positiva, pois q>0, a>0 e x^{2}>0. Assim, quando +q está à direita e medimos no lado direito ( x>0), o potencial aproximado é positivo. (Se o ponto estivesse no lado oposto do dipolo, o sinal trocaria.)

Resposta

V(x)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2 q a}{x^{2}}.
Quando +q está à direita (como colocado em x=+a) e o ponto de observação está no lado direito ( x>0), esse potencial é positivo.

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