(Potencial - similar) Um dipolo com cargas
separadas por
. No ponto do eixo do dipolo a distância
, mostre que
e indique o sinal quando
está à direita.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre, para um dipolo com cargas
separadas por
, que no ponto sobre o eixo do dipolo à distância
com
vale
e que indiquemos o sinal quando a carga
está à direita.
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente: separadas por
; ponto sobre o eixo do dipolo a uma distância
do centro; regime de aproximação
. Não vamos assumir nada além disso neste passo.
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente:
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples: centro do dipolo na origem. Coloco
em
e
em
. O ponto de observação está no eixo
em
(com
e
). Distâncias da observação às cargas são
Lembrete da física útil aqui (explicação didática): o potencial eletrostático de uma carga pontual
a uma distância
é
onde
é a permissividade do vácuo,
é a carga e
é a distância entre carga e ponto. Como o potencial é escalar, aplicamos o princípio da superposição: somamos os potenciais gerados por cada carga.
Passo 3
Escrevo o potencial total somando contribuição das duas cargas:
Fatorando
:
Agora eu junto as frações para simplificar:
Portanto, exatamente,
Passo 4
Agora faço a aproximação para
. Introduzo a pequena quantidade
com
. Então
Para
temos
, logo, ao primeiro ordem,
Aplicando isso na expressão exata, obtemos a aproximação de ordem dominante
(Alternativa similar e útil para provas: expandir
. Subtraindo as duas séries, os termos de ordem
cancelam e o termo líder resultante é
, chegando ao mesmo resultado.)
Passo 5
Interpretação em termos do momento de dipolo: o momento de dipolo (magnitude) é
. Substituindo, a expressão pode ser escrita como
Isso coincide com a forma geral no eixo do dipolo distante, onde o sinal depende do alinhamento do momento de dipolo e do ponto de observação.
Passo 6
Determinar o sinal quando
está à direita: com a convenção que usei (
em
e ponto de observação em
), a expressão que obtivemos é positiva, pois
,
e
. Assim, quando
está à direita e medimos no lado direito (
), o potencial aproximado é positivo. (Se o ponto estivesse no lado oposto do dipolo, o sinal trocaria.)
Resposta
Quando
está à direita (como colocado em
) e o ponto de observação está no lado direito (
), esse potencial é positivo.