O potencial elétrico V de uma região do espaço é dado por: V(x, y, z)=A(x^2-3 y^2+z^2), sendo A uma constante positiva. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto nessa região. (b) Sabe se que o trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste de 1.5 mu C se desloca a partir do ponto (x, y, z)=(0,0,0.25) m até a origem é de o 6.0 times 10^-5 J. Determine A. (c) Determine o campo elétrico no ponto ( 0,0,0,25 ) m.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=Al(x^2-3y^2+z^2r),
com A>0. Preciso (a) achar o campo elétrico E via gradiente de V, (b) usar o trabalho feito pelo campo ao levar uma carga q=1,5times10^-6,C de (0,0,0.25) m até a origem para determinar A, e (c) calcular E naquele ponto.

Passo 2

Calculo o gradiente de V. As derivadas parciais são
partial Vpartial x=2Ax, partial Vpartial y=-6Ay, partial Vpartial z=2Az

Passo 3

Como E=-nabla V, resulta
E(x,y,z)=l(-2Ax,;6Ay,;-2Azr)

Passo 4

O trabalho realizado pelo campo ao deslocar q de ri para rf é
W=ql[V(ri)-V(rf)r]
Aqui ri=(0,0,0.25) e rf=(0,0,0), logo
W=ql[V(0,0,0.25)-V(0,0,0)r] =ql[A,(0^2-3cdot0^2+0.25^2)-0r] =q,A,(0,25^2)

Passo 5

Substituindo W=6,0times10^-5,J, q=1,5times10^-6,C e 0,25^2=0,0625, temos
6,0times10^-5 =(1,5times10^-6),A,(0,0625)
Isolando A:
A=6,0times10^-51,5times10^-6times0,0625 =640;V/m^2

Passo 6

Para (x,y,z)=(0,0,0.25) m, da expressão de E do passo 3 com A=640, vem
E(0,0,0.25) =l(-2cdot640cdot0,;6cdot640cdot0,;-2cdot640cdot0,25r) =(0,;0,;-320);V/m

Resposta

(a) E(x,y,z)=(-2Ax,;6Ay,;-2Az)
(b) A=640;V/m^2
(c) E(0,0,0.25,m)=(0,0,-320);V/m

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