O potencial de Lennard-Jones para a interação de dois átomos de Ar pode ser descrito como:
V=4 varepsilon[(r0r)^12-(r0r)^6]
onde varepsilon=1,66 times 10^-21 J e r0=342 pm.
b) Derive uma expressão para a força entre os dois átomos de argônio para uma distância arbitrária r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar uma expressão para a força entre dois átomos de argônio quando eles estão separados por uma distância qualquer $ r $. Estamos lidando com a matéria de física molecular, especificamente com o potencial de Lennard-Jones, que descreve como dois átomos interagem entre si. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada para relacionar o potencial com a força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre o potencial de interação e a força. Em física, a força $ F $ que atua entre duas partículas pode ser encontrada como o negativo da derivada do potencial $ V $ em relação à distância $ r $. Ou seja:
F
Isso significa que se soubermos como o potencial varia com a distância, podemos descobrir a força correspondente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao potencial de Lennard-Jones que foi dado:
V = 4 varepsilon [ ( r0r )^12 - ( r0r )^6 ]
Para encontrar a força, precisamos calcular a derivada dessa expressão em relação a $ r $.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^n $ em relação a $ r $ é:
( r0r )^n
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} $:
r
  1. Para $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 $:
ddr ( r0r )^n = -n ( r0r )^n cdot 1r

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão da força:
F = -dVdr = -4 varepsilon [ -12 r0^12r^13 + 6 r0^6r^7 ]
Simplificando os sinais:
F = 4 varepsilon [ 12 r0^12r^13 - 6 r0^6r^7 ]
Podemos fatorar o 6:
F = 24 varepsilon r0^12r^13 - 24 varepsilon r0^6r^7
Ou ainda:
F = 24 varepsilon ( 2 r0^12r^13 - r0^6r^7 )

Resposta

A força entre os dois átomos de argônio para uma distância arbitrária $ r $ é dada por:
r

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