O potencial de Lennard-Jones para a interação de dois átomos de Ar pode ser descrito como:
onde
e
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b) Derive uma expressão para a força entre os dois átomos de argônio para uma distância arbitrária
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b) Derive uma expressão para a força entre os dois átomos de argônio para uma distância arbitrária
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar uma expressão para a força entre dois átomos de argônio quando eles estão separados por uma distância qualquer $ r $. Estamos lidando com a matéria de física molecular, especificamente com o potencial de Lennard-Jones, que descreve como dois átomos interagem entre si. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada para relacionar o potencial com a força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação entre o potencial de interação e a força. Em física, a força $ F $ que atua entre duas partículas pode ser encontrada como o negativo da derivada do potencial $ V $ em relação à distância $ r $. Ou seja:
Isso significa que se soubermos como o potencial varia com a distância, podemos descobrir a força correspondente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao potencial de Lennard-Jones que foi dado:
Para encontrar a força, precisamos calcular a derivada dessa expressão em relação a $ r $.
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada de $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^n $ em relação a $ r $ é:
Aplicando isso aos nossos termos:
- Para $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} $:
- Para $ \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 $:
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão da força:
Simplificando os sinais:
Podemos fatorar o 6:
Ou ainda:
Resposta
A força entre os dois átomos de argônio para uma distância arbitrária $ r $ é dada por: