O potencial de uma superfície esférica de raio
é dado por
em que
é uma constante. Encontre o potencial na região dentro da esfera
e na região fora da esfera
. Encontre também a densidade de carga na superfície esférica. colocada em um campo originalmente uniforme, a saber
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico tanto dentro quanto fora de uma esfera com raio $ R $, onde o potencial na superfície é dado por $ V_e(\theta) = V_0 \cos \theta $. Além disso, precisamos determinar a densidade de carga na superfície dessa esfera quando ela está imersa em um campo elétrico uniforme $ \mathbf{E}_0 = E_0 \hat{\mathbf{z}} $.
Estamos trabalhando com Eletrostática, especificamente com a teoria do potencial eletrostático em sistemas com simetria esférica. Para resolver isso, vamos usar as soluções das equações de Laplace em coordenadas esféricas, que nos permitem expressar o potencial tanto dentro quanto fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em regiões sem carga livre satisfaz a equação de Laplace:
Em coordenadas esféricas ($ r, \theta, \phi $), considerando que o potencial depende apenas de $ r $ e $ \theta $ (devido à simetria axial do problema), a equação de Laplace fica:
A solução geral dessa equação pode ser expressa em séries de Legendre, mas como o potencial na superfície envolve apenas $ \cos \theta $, podemos considerar apenas os termos de ordem $ l = 1 $ (que correspondem ao termo dipolar).
Passo 3
A solução geral para o potencial fora da esfera ($ r > R $) é:
Aqui, $ \frac{A}{r} \cos \theta $ representa a contribuição do dipolo induzido pela esfera, e $ E_0 r \cos \theta $ é a contribuição do campo elétrico externo uniforme.
Para o potencial dentro da esfera ($ r < R $), a solução é:
Já que dentro da esfera não há contribuições do campo externo, apenas a parte interna do potencial.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições de contorno na superfície da esfera ($ r = R $):
- O potencial deve ser contínuo na superfície:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar cancelando $ \cos \theta $ (já que vale para todo $ \theta $):
- A continuidade da componente radial do campo elétrico na superfície:
Calculando as derivadas:
Igualando em $ r = R $:
Cancelando $ \cos \theta $:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ A $ e $ B $:
- $ B R = \frac{A}{R} + E_0 R $
- $ B = -\frac{A}{R^2} + E_0 $
Vamos resolver isso passo a passo. Da segunda equação, expressamos $ B $ em termos de $ A $:
Substituímos essa expressão na primeira equação:
Subtraindo $ E_0 R $ de ambos os lados:
Somando $ \frac{A}{R} $ a ambos os lados:
Portanto, $ A = 0 $.
Substituindo $ A = 0 $ na expressão de $ B $:
Passo 6
Agora que temos os valores de $ A $ e $ B $, podemos escrever as expressões finais para os potenciais:
Para $ r > R $:
Para $ r < R $:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a densidade de carga superficial $ \sigma $ na esfera. A densidade de carga está relacionada à discontinuidade do campo elétrico normal à superfície. A relação é:
Onde $ E_{fora}^{\perp} $ e $ E_{dentro}^{\perp} $ são as componentes perpendiculares do campo elétrico fora e dentro da esfera, respectivamente.
Primeiro, calculamos o campo elétrico a partir do potencial:
Para $ r > R $:
Para $ r < R $:
Perceba que as componentes perpendiculares são iguais:
Então, a diferença é zero:
Resposta
O potencial dentro da esfera ($ r < R
r > R $) é dado por:
Além disso, a densidade de carga na superfície esférica é: