O potencial de uma superfície esférica de raio R é dado por
Ve(theta)=V0 cos theta, 0 <= theta <= pi
em que V0 é uma constante. Encontre o potencial na região dentro da esfera (r e na região fora da esfera (r>R). Encontre também a densidade de carga na superfície esférica. colocada em um campo originalmente uniforme, a saber
E0=E0 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico tanto dentro quanto fora de uma esfera com raio $ R $, onde o potencial na superfície é dado por $ V_e(\theta) = V_0 \cos \theta $. Além disso, precisamos determinar a densidade de carga na superfície dessa esfera quando ela está imersa em um campo elétrico uniforme $ \mathbf{E}_0 = E_0 \hat{\mathbf{z}} $.
Estamos trabalhando com Eletrostática, especificamente com a teoria do potencial eletrostático em sistemas com simetria esférica. Para resolver isso, vamos usar as soluções das equações de Laplace em coordenadas esféricas, que nos permitem expressar o potencial tanto dentro quanto fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em regiões sem carga livre satisfaz a equação de Laplace:
V
Em coordenadas esféricas ($ r, \theta, \phi $), considerando que o potencial depende apenas de $ r $ e $ \theta $ (devido à simetria axial do problema), a equação de Laplace fica:
nabla^2 V = 0
A solução geral dessa equação pode ser expressa em séries de Legendre, mas como o potencial na superfície envolve apenas $ \cos \theta $, podemos considerar apenas os termos de ordem $ l = 1 $ (que correspondem ao termo dipolar).

Passo 3

A solução geral para o potencial fora da esfera ($ r > R $) é:
r > R
Aqui, $ \frac{A}{r} \cos \theta $ representa a contribuição do dipolo induzido pela esfera, e $ E_0 r \cos \theta $ é a contribuição do campo elétrico externo uniforme.
Para o potencial dentro da esfera ($ r < R $), a solução é:
Vfora(r, theta) = Ar cos theta + E0 r cos theta
Já que dentro da esfera não há contribuições do campo externo, apenas a parte interna do potencial.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno na superfície da esfera ($ r = R $):
  1. O potencial deve ser contínuo na superfície:
r = R
Substituindo as expressões:
Vdentro(R, theta) = Vfora(R, theta) = Ve(theta) = V0 cos theta
Podemos simplificar cancelando $ \cos \theta $ (já que vale para todo $ \theta $):
B R cos theta = AR cos theta + E0 R cos theta
  1. A continuidade da componente radial do campo elétrico na superfície:
cos theta
Calculando as derivadas:
theta
B R = AR + E0 R
Igualando em $ r = R $:
( partial Vdentropartial r )r=R = ( partial Vforapartial r )r=R
Cancelando $ \cos \theta $:
partial Vdentropartial r = B cos theta

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ A $ e $ B $:
  1. $ B R = \frac{A}{R} + E_0 R $
  2. $ B = -\frac{A}{R^2} + E_0 $
Vamos resolver isso passo a passo. Da segunda equação, expressamos $ B $ em termos de $ A $:
A
Substituímos essa expressão na primeira equação:
B
B R = AR + E0 R
Subtraindo $ E_0 R $ de ambos os lados:
B = -AR^2 + E0
Somando $ \frac{A}{R} $ a ambos os lados:
B
Portanto, $ A = 0 $.
Substituindo $ A = 0 $ na expressão de $ B $:
A

Passo 6

Agora que temos os valores de $ A $ e $ B $, podemos escrever as expressões finais para os potenciais:
Para $ r > R $:
A
Para $ r < R $:
B

Passo 7

Agora, vamos encontrar a densidade de carga superficial $ \sigma $ na esfera. A densidade de carga está relacionada à discontinuidade do campo elétrico normal à superfície. A relação é:
sigma
Onde $ E_{fora}^{\perp} $ e $ E_{dentro}^{\perp} $ são as componentes perpendiculares do campo elétrico fora e dentro da esfera, respectivamente.
Primeiro, calculamos o campo elétrico a partir do potencial:
sigma = epsilon0 ( Efora^perp - Edentro^perp )
Para $ r > R $:
Efora^perp
Para $ r < R $:
Edentro^perp
Perceba que as componentes perpendiculares são iguais:
E = -nabla V
r > R
Então, a diferença é zero:
Efora^r = -partial Vforapartial r = -partialpartial r ( E0 r cos theta ) = -E0 cos theta

Resposta

O potencial dentro da esfera ($ r < R r < R r > R $) é dado por:
r > R
Vdentro(r, theta) = E0 r cos theta
Além disso, a densidade de carga na superfície esférica é:
Vfora(r, theta) = E0 r cos theta

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