Potências de seno e cosseno:
\n\int \operatorname{sen}^{5}(x) d x\n

Passo 1

Neste exercício vamos calcular
\displaystyle \int \operatorname{sen}^{5}(x)\,dx.
Como o expoente de seno é ímpar, a ideia é usar a identidade
\operatorname{sen}^{2}(x)=1-\cos^{2}(x), separar um fator \operatorname{sen}(x) e fazer a substituição u=\cos(x).

Passo 2

Escrevendo
\operatorname{sen}^{5}(x) =\operatorname{sen}^{4}(x)\,\operatorname{sen}(x) =(\operatorname{sen}^{2}(x))^{2}\,\operatorname{sen}(x) =(1-\cos^{2}(x))^{2}\,\operatorname{sen}(x),
substituímos no integral:
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\,dx =\int (1-\cos^{2}(x))^{2}\,\operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Fazendo a substituição
\displaystyle u=\cos(x), temos \,du=-\operatorname{sen}(x)\,dx ou \operatorname{sen}(x)\,dx=-du.
O integral passa a ser
-\int (1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandindo o quadrado e integrando termo a termo:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4},
-\int(1-2u^{2}+u^{4})\,du =-\Bigl(u-\tfrac{2}{3}u^{3}+\tfrac{1}{5}u^{5}\Bigr)+C =-u+\tfrac{2}{3}u^{3}-\tfrac{1}{5}u^{5}+C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\cos(x), obtemos
-\cos(x)+\tfrac{2}{3}\cos^{3}(x)-\tfrac{1}{5}\cos^{5}(x)+C.

Resposta

-\cos(x)+\tfrac{2}{3}\cos^{3}(x)-\tfrac{1}{5}\cos^{5}(x)+C

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