Pré-Cálculo: Prof Rafael
Lista de exercicios 2: Expressões e Equações Algébricas
Determine as raízes da equação 2 x^{4}-5 x^{3}-2 x^{2}-4 x+3=0.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação
2x^{4}-5x^{3}-2x^{2}-4x+3=0.
O conteúdo aqui é pré-cálculo: vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para encontrar possíveis raízes inteiras ou fracionárias e depois fatorar o polinômio por divisões sintéticas, até chegar num polinômio quadrático que podemos resolver com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelos coeficientes 2, -5, -2, -4, 3, as possíveis raízes racionais são \pm1, \pm3, \pm\tfrac12, \pm\tfrac32. Testando x=3:
2\cdot3^{4}-5\cdot3^{3}-2\cdot3^{2}-4\cdot3+3 =162-135-18-12+3=0.
Logo x=3 é raiz. Fazendo divisão sintética de 2x^4-5x^3-2x^2-4x+3 por (x-3), obtemos o cúbico
2x^{3}+x^{2}+x-1.

Passo 3

No polinômio 2x^{3}+x^{2}+x-1, as possíveis raízes continuam \pm1, \pm\tfrac12. Testando x=\tfrac12:
2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}+\tfrac12-1 =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac12-1=0.
Portanto x=\tfrac12 é raiz. Dividindo sinteticamente por \bigl(x-\tfrac12\bigr), ficamos com o polinômio quadrático
2x^{2}+2x+2.

Passo 4

Resolvemos
2x^{2}+2x+2=0
pela fórmula de Bhaskara. Aqui a=2, b=2, c=2.
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot2\cdot2 = -12.
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{4} = -\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}\,i.

Resposta

As raízes da equação são
x = 3,\quad x = \tfrac12,\quad x = -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}\,i,\quad x = -\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}\,i.

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