Pré-Cálculo: Prof Rafael
Lista de exercicios 2: Expressões e Equações Algébricas
Resolva a equação x^{3}-9 x^{2}+22 x-24=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
x^{3} - 9x^{2} + 22x - 24 = 0
Conteúdo: uso do Teorema das Raízes Racionais, Teorema do Fator (se x=a é raiz, então x-a é fator) e, depois de fatorar, aplicação da fórmula de Bhaskara para resolver o quadrático restante.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes racionais são divisores de 24 (termo independente) sobre divisores de 1 (coeficiente líder). Logo, candidatos:
\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm4,\;\pm6,\;\pm8,\;\pm12,\;\pm24.

Passo 3

Testamos alguns valores até achar uma raiz. Substituindo x=6:
6^{3}-9\cdot6^{2}+22\cdot6-24 =216-324+132-24 =0.
Logo, x=6 é raiz, isto significa que (x-6) é um fator do polinômio.

Passo 4

Para fatorar, dividimos x^{3}-9x^{2}+22x-24 por (x-6) (divisão sintética):
Coeficientes: 1,\;-9,\;22,\;-24
Usando “6” na sintética, obtemos o quociente de grau 2 com coeficientes 1,\;-3,\;4.
Então
x^{3}-9x^{2}+22x-24=(x-6)(x^{2}-3x+4).

Passo 5

Agora resolvemos o quadrático
x^{2}-3x+4=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1} =\frac{3\pm\sqrt{9-16}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{-7}}{2} =\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{7}}{2}\,i.

Resposta

x=6 x=\frac{3 + i\sqrt{7}}{2} x=\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}

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