Precipitação cm/ano (x): 88,9 108,5 114,1 139,7 147
Escoamento m3/s (y): 14,6 16,7 17,3 23,2 23,5
a) Determine a equação de regressão linear

Passo 1

Beleza, mano! A questão nos dá duas séries de valores: precipitação anual (x) e escoamento (y), cada uma com 5 pontos. O conteúdo aqui é regressão linear simples, ou seja, achar a reta que melhor “encaixa” esses pontos. Para isso, vamos precisar de:
  1. médias de x e y;
  2. somas de quadrados e produtos (S_xx e S_xy);
  3. fórmula do coeficiente angular (b) e do coeficiente linear (a) da reta y = a + b,x.
A partir do próximo passo a gente parte pra conta!

Passo 2

Primeiro, calcula a média de cada variável:
bar x = 1nsumi=1^n xi, bar y = 1nsumi=1^n yi
Temos n=5,
- Soma de x: 88,9 + 108,5 +114,1 +139,7 +147 =598,2, logo
bar x = 598,25 =119,64
  • Soma de y: 14,6+16,7+17,3+23,2+23,5 =95,3, logo bar y = 95,35 =19,06

Passo 3

Agora precisa da covariância e da variância amostral (sem dividir por n):
Sxy = sumi=1^n (xi - bar x)(yi - bar y), Sxx = sumi=1^n (xi - bar x)^2
Uma forma prática é:
$$S_{xy} = \sum x_i y_i - n,\bar x,\bar y,\quad
S_{xx} = \sum x_i^2 - n,\bar x^2.$$
Calculando (com as somas intermediárias):
- Sxy = sum xi yi - n,bar x,bar y, Sxx = sum xi^2 - n,bar x^2
- sum xi yi =11779,36
- sum xi^2 =73819,36
- n,bar x,bar y =5cdot119,64cdot19,06 approx11401,69
Logo
n,bar x^2 =5cdot(119,64)^2 approx71568,65
Sxyapprox11779,36 -11401,69 =377,67,

Passo 4

Com S_xy e S_xx em mãos, usamos as fórmulas da reta de regressão:
b = SxySxx, a = bar y - b,bar x
Logo
b approx 377,672250,71approx0,168,
a approx 19,06 - 0,168cdot119,64approx -0,995

Resposta

A equação da reta de regressão linear é
boxedhat y = -0,995 + 0,168,x

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