O teor de proteínas ( mg / ml ) no leite pode ser determinado de uma forma indireta analisando-se a absorbância de luz, medida em um aparelho denominado espectrofotômetro. A absorbância consiste na fração da luz incidente que a amostra é capaz de absorver. Por exemplo, uma absorbância de 0,70 indica que a solução absorveu 70 % da luz incidente. Por razões históricas, este método é denominado Método do Biureto. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos em um teste com cinco amostras padrão, de concentração previamente conhecida.
Concentração (mg / ml) 1 2 3 4 5
Absorvância 0,12 0,31 0,49 0,64 0,77
Calcule o coeficiente de determinação (R^2).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma tabelinha de 5 amostras onde:
  • x = concentração (mg/mL)
  • y = absorbância
    E a tarefa é achar o coeficiente de determinação de uma reta de regressão linear simples entre x e y.
    Conteúdo envolvido:
  • Regressão linear (achar coeficiente angular e linear )
  • Somas de quadrados (SST e SSR)
  • Coeficiente de determinação
    O que vamos precisar:
  1. Calcular médias e .
  2. Usar a fórmula da reta .
  3. Calcular as somas de quadrados:
    • SST =
    • SSR = (ou )
  4. Finalmente tirar .

Passo 2

Primeiro, vamos achar as médias:
bar x = 1+2+3+4+55 = 3, bar y = 0,12 +0,31+0,49+0,64+0,775 = 2,335 = 0,466
Explicando: média é só somar todos os valores e dividir pela quantidade de observações.

Passo 3

Agora, a gente calcula o coeficiente angular b = sumi=1^5 (xi-bar x)(yi-bar y) sumi=1^5 (xi-bar x)^2 e o linear sum (xi-bar x)(yi-bar y) = 1,63, sum (xi-bar x)^2 = 10 .
A fórmula do b = 1,6310 = 0,163 é
a = bar y - b,bar x = 0,466 - 0,163cdot 3 = -0,023
Vamos às contas (arredondando um pouquinho):
hat y = -0,023 + 0,163,x
Logo
O vem de
Então a reta de ajuste é

Passo 4

Falta achar as somas de quadrados:
  1. SST (Total Sum of Squares)
SST = sumi=1^5 (yi - bar y)^2 approx 0,2673
  1. SSR (Regression Sum of Squares)
    Podemos usar SSR = (0,163)^2 cdot 10 approx 0,2657 :
R^2 = SSRSST approx 0,26570,2673 approx 0,995
Por fim, o é

Resposta

O coeficiente de determinação é aproximadamente
boxedR^2 approx 0,995

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