Resolver em R as equações exponenciais:
\frac{1}{3}=27^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e que informações temos:
  • Resolver em \mathbb{R} a equação \displaystyle \frac{1}{3}=27^{x}.
  • A incógnita é x e queremos o(s) valor(es) real(is) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Escolha de método (explicação curta): vamos escrever os dois lados da igualdade como potências da mesma base (a base 3 é natural aqui) e usar a propriedade de igualdade de potências. Antes disso, algumas regras básicas de potências que vamos usar (com explicação simples):
  • Para todo a\neq 0 e números reais m,n vale (a^{m})^{n}=a^{mn}.
  • Para todo a\neq 0 vale a^{-1}=\dfrac{1}{a}.
  • Se a>0 e a\neq 1, então a^{u}=a^{v}\Rightarrow u=v. Isso significa que, quando as duas potências têm a mesma base positiva distinta de 1, podemos igualar os expoentes.

Passo 3

Reescrever os dois lados com base 3:
  • O lado esquerdo \displaystyle \frac{1}{3} pode ser escrito como \displaystyle 3^{-1}, porque 3^{-1}=\dfrac{1}{3} (pela regra a^{-1}=1/a).
  • O lado direito 27^{x} pode ser reescrito usando que 27=3^{3} (pois 3\cdot3\cdot3=27). Assim,
27^{x}=(3^{3})^{x}=3^{3x},
pela regra (a^{m})^{n}=a^{mn}.

Passo 4

Agora a equação fica com a mesma base:
3^{-1}=3^{3x}.
Como a base 3 é positiva e diferente de 1, podemos igualar os expoentes:
-1=3x.
Resolver para x: dividir ambos os lados por 3,
x=-\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (para garantir que não cometemos erro): substituir x=-\dfrac{1}{3} em 27^{x}:
27^{-1/3}=(3^{3})^{-1/3}=3^{3\cdot(-1/3)}=3^{-1}=\dfrac{1}{3},
que é exatamente o lado esquerdo. Está correto.

Passo 6

Método alternativo (útil para problemas parecidos): usar logaritmos. Tomando log de ambos os lados (por exemplo \ln):
\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=x\ln 27.
Logo
x=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln 27}.
Usando \ln(1/3)=-\ln 3 e \ln 27=\ln(3^{3})=3\ln 3, obtemos
x=\dfrac{-\ln 3}{3\ln 3}=-\dfrac{1}{3},
mesmo resultado. Isso mostra duas formas de pensar: reescrever na mesma base (mais direto) ou usar logaritmo.

Resposta

x=-\dfrac{1}{3}

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