Quando o preço de um certo produto é p reais a unidade, a demanda é de x centenas de unidades, onde 75 x^2+17 p^2=5.300 Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo quando o preço é R 7,00 e está diminuindo à razão de 75 centavos por mês (ou seja, áàãêd p / d t=-0,75$ )?

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a demanda x (em centenas de unidades) e o preço p (em reais) por
75,x^2 + 17,p^2 = 5300
e informa que dpdt = -0,75 (reais por mês). Precisamos encontrar dxdt quando p = 7.

Passo 2

Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t. Como x = x(t) e p = p(t), temos
ddtl(75,x^2 + 17,p^2r) = 75cdot 2x,dxdt + 17cdot 2p,dpdt = 0
Logo,
150,x,dxdt + 34,p,dpdt = 0

Passo 3

Para usar essa fórmula em p=7, precisamos achar x correspondente. Substituindo p=7 em
75,x^2 + 17cdot 7^2 = 5300
vem
75,x^2 + 17cdot 49 = 5300 Longrightarrow 75,x^2 + 833 = 5300 Longrightarrow 75,x^2 = 4467 Longrightarrow x = raiz446775approx 7,72

Passo 4

Agora voltamos à equação diferenciada:
150,x,dxdt + 34,p,dpdt = 0 Longrightarrow dxdt = -,34,p150,x,dpdt
Substituindo p=7, xapprox7,72 e dpdt=-0,75, obtemos
dxdt = -,34cdot 7150cdot 7,72,(-0,75) = 34cdot 7cdot 0,75150cdot 7,72 approx 0,154 (centenas de unidades por mês) ê

Resposta

dxdtapprox 0,154 centenas de unidades por mês
(nos termos de unidades, isso equivale a cerca de 15,4 unidades por mês).

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