Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
y=u v Rightarrow y^prime=u^prime v+v^prime u.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a regra do produto, ou seja, que se u=u(x) e v=v(x) são diferenciáveis em x, então a derivada de
y = u(x),v(x)
é dada por
y' = u'(x),v(x) ;+; v'(x),u(x)
Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada de y:
y' = limhto0 y(x+h)-y(x)h
Como y(x)=u(x),v(x), temos
y(x+h)-y(x) = u(x+h),v(x+h) ;-; u(x),v(x)

Passo 3

Para facilitar, somamos e subtraímos o termo u(x+h),v(x):
u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) = l[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)r] + l[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)r]

Passo 4

Agora separamos o quociente incremental em duas parcelas:
y(x+h)-y(x)h = u(x+h)l[v(x+h)-v(x)r]h + v(x)l[u(x+h)-u(x)r]h

Passo 5

Passamos ao limite hto0 em cada parcela. Como u e v são diferenciáveis, u(x+h)to u(x) e
limhto0v(x+h)-v(x)h = v'(x), limhto0u(x+h)-u(x)h = u'(x)
Logo
y' = u(x),limhto0v(x+h)-v(x)h + v(x),limhto0u(x+h)-u(x)h = u(x),v'(x) + v(x),u'(x)

Resposta

y' = u'(x),v(x) + v'(x),u(x)

Exercícios relacionados