Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
y=u^n Rightarrow y^prime=n u^n-1 u^prime.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções, u e v , que são deriváveis em relação a x , e n é uma constante. A função que queremos derivar é y = u^n . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a Regra do Poder e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Poder. Essa regra nos diz como derivar uma função que está elevada a uma potência. Se temos uma função simples como f(x) = x^n , a derivada dela é f'(x) = n x^n-1 . Isso significa que a derivada de uma potência reduz o expoente em 1 e multiplica pelo expoente original.

Passo 3

Mas no nosso caso, a função não é simplesmente x^n , e sim u^n , onde u é uma função de x . Isso significa que precisamos aplicar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Ela nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a Regra do Poder à nossa função y = u^n , tratamos u como a “função interna”. Então, a derivada de y em relação a x será:
y' = n u^n-1 cdot u'
Aqui, n u^n-1 vem da Regra do Poder, e u' é a derivada da função interna u em relação a x , conforme a Regra da Cadeia.

Resposta

A derivada de y = u^n é:
y' = n u^n-1 cdot u'

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