Um predador, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima de 54 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em 4 s e mantém essa velocidade durante 10 s. Se não alcançar sua presa nesses 14 s , o predador desiste da caçada. A presa, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima, que é 4 / 5 da velocidade máxima do predador, em 5 se consegue mantê-la por mais tempo que o predador. Suponha-se que as acelerações são constantes, que o início do ataque e da fuga são simultâneos e que predador e presa partem do repouso. Para o predador obter sucesso em sua caçada, a distância inicial máxima entre ele e a presa é de:
a) 21 m
b) 30 m
c) 42 m
d) 72 m
e) 80 m

Passo 1

O enunciado pede a maior distância inicial d tal que o predador, partindo do repouso, alcance a presa em até 14 s. Vamos modelar cada um usando movimentos com aceleração constante na fase inicial e movimento uniforme em seguida, e depois igualar a posição do predador à da presa mais d.

Passo 2

Para o predador: sua velocidade máxima é
v_{\text{p\,max}} = 54\text{ km/h} = 54\cdot\frac{1000}{3600} = 15\text{ m/s},
atingida em t_1=4 s. A aceleração é
a_{\text{p}} = \frac{v_{\text{p\,max}}}{t_1} = \frac{15}{4} = 3{,}75\text{ m/s}^2.
Distância na fase acelerada:
s_{1\text{p}} = \tfrac12\,a_{\text{p}}\,t_1^2 = \tfrac12\cdot3{,}75\cdot4^2 = 30\text{ m}.
Depois corre uniformemente por 10 s a 15 m/s:
s_{2\text{p}} = v_{\text{p\,max}}\cdot10 = 15\cdot10 = 150\text{ m}.
Logo, em 14 s o predador percorre
s_{\text{p\,total}} = 30 + 150 = 180\text{ m}.

Passo 3

Para a presa: sua velocidade máxima é
v_{\text{r\,max}} = \tfrac45\,v_{\text{p\,max}} = \tfrac45\cdot15 = 12\text{ m/s},
atingida em t_2=5 s. A aceleração é
a_{\text{r}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\text{ m/s}^2.
Distância na fase acelerada:
s_{1\text{r}} = \tfrac12\,a_{\text{r}}\,t_2^2 = \tfrac12\cdot2{,}4\cdot5^2 = 30\text{ m}.
Depois corre uniformemente por 14-5=9 s a 12 m/s:
s_{2\text{r}} = 12\cdot9 = 108\text{ m}.
Logo, em 14 s a presa percorre
s_{\text{r\,total}} = 30 + 108 = 138\text{ m}.

Passo 4

Para o predador alcançar a presa em 14 s, basta que
s_{\text{p\,total}} \ge d + s_{\text{r\,total}}
em que d é a distância inicial. Assim, a distância máxima é
d_{\max} = s_{\text{p\,total}} - s_{\text{r\,total}} = 180 - 138 = 42\text{ m}.

Resposta

A distância inicial máxima é de 42 m, alternativa (c).

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