Em um prédio com 7 andares, 5 passageiros entram no elevador no andar térreo. Assumindo que cada passageiro tem a mesma probabilidade de descer em um dos 7 andares e que os passageiros descem de maneira independente entre si, então qual é a probabilidade que os passageiros desçam todos em andares diferentes?

Passo 1

O enunciado diz que há 5 passageiros que, de forma independente e com probabilidade igual, descem em um dos 7 andares. Queremos a probabilidade de que todos eles desçam em andares distintos. O conteúdo aqui é probabilidade em espaço amostral finito uniforme e contagem de injeções (permutações).

Passo 2

O número total de maneiras de escolha dos andares pelos 5 passageiros (espaço amostral) é
7^5
pois cada um dos 5 passageiros tem 7 opções de andar.

Passo 3

O número de resultados em que todos descem em andares diferentes (espaço favorável) é o número de injeções de um conjunto de 5 elementos em um de 7, ou seja, permutação de 7 tomados 5 a 5:
\frac{7!}{(7-5)!} \;=\;7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3 \;=\;2520.

Passo 4

A probabilidade desejada é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados:
P = \frac{2520}{7^5} \;=\; \frac{2520}{16807}.

Resposta

\displaystyle \frac{2520}{16807}\approx0,1499

Exercícios relacionados