Um prédio possui 3 vigias dispostos em vários pontos de onde têm visão do portão de entrada. Se alguém não autorizado entrar, o vigia que o vê faz soar um alarme. Suponha que os vigias trabalham independentemente entre si, e que a probabilidade de que cada um deles veja uma pessoa entrar é 0,8. Seja X o número de alarmes que soam ao entrar uma pessoa não autorizada. Encontre a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,008; 0,096; 0,384; 0,512)

Passo 1

O problema diz que há 3 vigias independentes, cada um com probabilidade de 0,8 de ver uma pessoa não autorizada. Definimos a variável aleatória X como o número de alarmes (ou vigias que veem essa pessoa). Vamos modelar X com uma distribuição binomial.

Passo 2

Para resolver, usamos a distribuição binomial com parâmetros n = 3 (número de vigias) e p = 0,8 (probabilidade de sucesso, isto é, de um vigia ver a pessoa). A fórmula geral é:
P(X = k) = binom3k ,(0.8)^k ,(1 - 0.8)^3 - k

Passo 3

Agora, calculamos P(X = 0) e P(X = 1).
Para k = 0:
P(X = 0) = (0.2)^3 = 0.008
Para k = 1:
P(X = 1) = binom31(0.8)^1(0.2)^2 = 3 times 0.8 times 0.04 = 0.096

Passo 4

Finalmente, calculamos P(X = 2) e P(X = 3).
Para k = 2:
P(X = 2) = binom32(0.8)^2(0.2)^1 = 3 times 0.64 times 0.2 = 0.384
Para k = 3:
P(X = 3) = (0.8)^3 = 0.512

Resposta

P(X=0)=0,008; P(X=1)=0,096; P(X=2)=0,384; P(X=3)=0,512.

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