Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é de
, de
resolver é de
e de C resolver é de
. Seja X o número de soluções corretas apresentadas para este problema.
a) Construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228)
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)
a) Construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228)
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)
Passo 1
O enunciado: três alunos A, B e C tentam resolver um problema de forma independente, com probabilidades
,
e
. A variável aleatória
conta quantos alunos acertam a solução. O conteúdo aqui é soma de Bernoullis não idênticas; vamos usar probabilidade de eventos independentes, combinação de cenários e depois as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Definimos
, onde
vale 1 se o aluno
acerta e 0 caso contrário. Como são independentes, para cada
temos que
é a soma das probabilidades de todos os cenários com
sucessos.
Passo 3
Para
(nenhum acerto) usamos
Para
Passo 4
Para
(exatamente um acerto) somamos os três cenários possíveis:
Para
Passo 5
Agora temos a distribuição completa:
Passo 6
Para a esperança usamos a linearidade:
Para a variância, como são independentes,
Resposta
Distribuição de X: P(X=0)≈0.0381, P(X=1)≈0.2571, P(X=2)≈0.4762, P(X=3)≈0.2286. E(X)≈1.8952. V(X)≈0.6271.