Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é de 4 / 5, de B resolver é de 2 / 3 e de C resolver é de 3 / 7. Seja X o número de soluções corretas apresentadas para este problema.
a) Construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228)
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)

Passo 1

O enunciado: três alunos A, B e C tentam resolver um problema de forma independente, com probabilidades pA=4/5, pB=2/3 e pC=3/7. A variável aleatória X conta quantos alunos acertam a solução. O conteúdo aqui é soma de Bernoullis não idênticas; vamos usar probabilidade de eventos independentes, combinação de cenários e depois as fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Definimos X = XA + XB + XC, onde Xi vale 1 se o aluno i acerta e 0 caso contrário. Como são independentes, para cada k=0,1,2,3 temos que P(X=k) é a soma das probabilidades de todos os cenários com k sucessos.

Passo 3

Para X=0 (nenhum acerto) usamos
P(X=0) = (1-pA)(1-pB)(1-pC) = 0.2 times tfrac13 times tfrac47 approx 0.0381
Para X=3 (todos acertam) usamos
P(X=3) = pA pB pC = 0.8 times tfrac23 times tfrac37 approx 0.2286

Passo 4

Para X=1 (exatamente um acerto) somamos os três cenários possíveis:
P(X=1)=pA(1-pB)(1-pC)+(1-pA)pB(1-pC)+(1-pA)(1-pB)pCapprox0.2571
Para X=2 (exatamente dois acertos) fazemos igual:
P(X=2)=pA pB(1-pC)+pA(1-pB)pC+(1-pA)pB pCapprox0.4762

Passo 5

Agora temos a distribuição completa:
P(X=0)approx0.0381,;P(X=1)approx0.2571,;P(X=2)approx0.4762,;P(X=3)approx0.2286

Passo 6

Para a esperança usamos a linearidade:
E(X)=E(XA)+E(XB)+E(XC)=pA+pB+pC=45+23+37approx1.8952
Para a variância, como são independentes,
V(X)=V(XA)+V(XB)+V(XC)=pA(1-pA)+pB(1-pB)+pC(1-pC)approx0.6271

Resposta

Distribuição de X: P(X=0)≈0.0381, P(X=1)≈0.2571, P(X=2)≈0.4762, P(X=3)≈0.2286. E(X)≈1.8952. V(X)≈0.6271.

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