Preencher nos espaços indicados as respostas para as seguintes questőes:
(2) [25] Uma barra de chumbo (k=35,3 W /(mK)) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre (k=401 W /(mK)) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a 270^circ C, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a 85^circ C. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras.
Resposta:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas barras metálicas, uma de chumbo e outra de cobre, com comprimentos e condutividades térmicas diferentes. Elas estão coladas em uma extremidade e cada extremidade está presa a uma parede com temperaturas diferentes. Precisamos encontrar a temperatura na junção entre as duas barras. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor e resistência térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em regime de estado estacionário, a quantidade de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre. Isso significa que o fluxo de calor $ Q $ é o mesmo em ambas as barras.

Passo 3

A resistência térmica ($ R $) de cada barra pode ser calculada usando a fórmula:
R
Onde:
  • $ L $ é o comprimento da barra,
  • $ k $ é a condutividade térmica do material,
  • $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal das barras. Como as seções são quadradas com lados de 12 mm (0,012 m):
A = (0,012, m)^2 = 0,000144, m^2

Passo 5

Agora, calculamos a resistência térmica de cada barra.
Para a barra de chumbo:
Rchumbo = Lchumbokchumbo cdot A = 0,15, m35,3, WmK cdot 0,000144, m^2 approx 29,12, K/W
Para a barra de cobre:
Rcobre = Lcobrekcobre cdot A = 0,25, m401, WmK cdot 0,000144, m^2 approx 4,33, K/W

Passo 6

Sabemos que o fluxo de calor é o mesmo nas duas barras, então podemos escrever:
T1 - TjRchumbo = Tj - T2Rcobre
Onde:
  • $ T_1 = 270^\circ C $ (temperatura na extremidade da barra de chumbo),
  • $ T_2 = 85^\circ C $ (temperatura na extremidade da barra de cobre),
  • $ T_j $ é a temperatura na junção que queremos encontrar.

Passo 7

Vamos substituir os valores na equação:
270 - Tj29,12 = Tj - 854,33

Passo 8

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por $ 29,12 \times 4,33 $ para eliminar os denominadores:
29,12 times 4,33
(270 - Tj) times 4,33 = (Tj - 85) times 29,12

Passo 9

Agora, vamos juntar os termos com $ T_j $ de um lado e os números do outro:
Tj
1170 + 2475 = 29,12, Tj + 4,33, Tj

Passo 10

Finalmente, resolvemos para $ T_j $:
Tj

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente $ 109,^\circ C $.

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