A prefeitura de um município pretende construir um parque retangular, com área de 3600 m^2 e pretende protegê-lo com uma cerca. Que dimensões devem ter o parque para que o comprimento da cerca seja mínimo?

Passo 1

Você tem um parque retangular com área conhecida de 3600,m^2 e quer cercá-lo de modo que o comprimento total da cerca (ou perímetro) seja mínimo. O conteúdo é otimização de função com restrição (área fixa) e vamos precisar usar derivadas para encontrar o mínimo.

Passo 2

Definimos x e y como os comprimentos dos lados do retângulo (em metros). A área fixa implica:
xy = 3600
O perímetro a ser minimizado é:
P = 2(x + y)
Usando a restrição, expressamos y em função de x:
y = 3600x

Passo 3

Substituímos y na expressão do perímetro para obter uma função de uma variável:
P(x) = 2l(x + 3600xr)
Calculamos a derivada e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
P'(x) = 2l(1 - 3600x^2r) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação da derivada:
1 - 3600x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 3600 Longrightarrow x = 60,m
Como y = 3600/x, temos
y = 360060 = 60,m
Para confirmar que é mínimo, observe que P''(x) = 2l(2cdot3600/x^3r) > 0 em x=60, garantindo um mínimo.

Passo 5

As dimensões que minimizam o perímetro são x = 60,m e y = 60,m, ou seja, o parque deve ser quadrado.

Resposta

As dimensões devem ser 60 m por 60 m.

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