A prefeitura de um município pretende construir um parque retangular, com área de
e pretende protegê-lo com uma cerca. Que dimensões devem ter o parque para que o comprimento da cerca seja mínimo?
Passo 1
Você tem um parque retangular com área conhecida de
e quer cercá-lo de modo que o comprimento total da cerca (ou perímetro) seja mínimo. O conteúdo é otimização de função com restrição (área fixa) e vamos precisar usar derivadas para encontrar o mínimo.
Passo 2
Definimos
e
como os comprimentos dos lados do retângulo (em metros). A área fixa implica:
O perímetro a ser minimizado é:
Usando a restrição, expressamos
em função de
:
Passo 3
Substituímos
na expressão do perímetro para obter uma função de uma variável:
Calculamos a derivada e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 4
Resolvendo a equação da derivada:
Como
, temos
Para confirmar que é mínimo, observe que
em
, garantindo um mínimo.
Passo 5
As dimensões que minimizam o perímetro são
e
, ou seja, o parque deve ser quadrado.
Resposta
As dimensões devem ser 60 m por 60 m.