Prepara-se uma solução aquosa a partir da dissolução de 20,0 \mathrm{~g} de uma mistura de sacarose \left(\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}\right) e etilenoglicol \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}_{2}\right), utilizando-se 1,00 \mathrm{~kg} de água. Verifica-se que o ponto de congelamento desta solução é de -0,426^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo-se um comportamento ideal, determine a composição percentual em massa de sacarose nesta mistura. (R.45,4% sacarose)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estas informações diretamente do enunciado):
  • Massa total da mistura de solutos: 20{,}0\\ \mathrm{g} (mistura de sacarose e etilenoglicol).
  • Massa do solvente (água): 1{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Ponto de congelamento da solução: -0{,}426^\circ\mathrm{C}.
    O que o problema pede:
  • Determinar a composição percentual em massa de sacarose na mistura de 20{,}0\\ \mathrm{g} de solutos (ou seja, quantos gramas de sacarose entre os 20{,}0\\ \mathrm{g}, e daí o percentual em massa).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • A diminuição do ponto de congelamento de um solvente causada por um soluto não-volátil ideal (não eletrolítico) é uma propriedade coligativa e obedece à lei:
\Delta T_f = K_f \, m
onde:
  • \Delta T_f é a depressão do ponto de congelamento (diferença entre o ponto de congelamento puro e o da solução), em ^\circ\mathrm{C};
  • K_f é a constante crioscópica do solvente (para a água, usamos K_f = 1{,}86\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\,\mathrm{mol}^{-1});
  • m é a molalidade da solução, em \mathrm{mol}\,\mathrm{kg}^{-1} (mol de soluto por kg de solvente).
  • Molalidade m é definida por
m = \frac{n_\text{total}}{M_{\text{solvente (kg)}}}
onde n_\text{total} é o número total de mols de partículas dissolvidas (aqui ambos os solutos são não-ionizados, então cada mol de molécula conta 1 mol) e a massa do solvente está em kg.
  • Para cada componente da mistura, o número de mols é dado por
n = \frac{\text{massa (g)}}{\text{massa molar (g/mol)}}.
  • Vamos chamar x a massa de sacarose (em gramas) na mistura de 20{,}0\\ \mathrm{g}. Então a massa de etilenoglicol será 20{,}0-x (em gramas). Montamos uma equação para que a molalidade calculada a partir desses mols corresponda à \Delta T_f observada.

Passo 3

Calcular \Delta T_f e a molalidade requerida.
  • O ponto de congelamento puro da água é 0{,}0^\circ\mathrm{C}, a solução congela a -0{,}426^\circ\mathrm{C}. Portanto
\Delta T_f = 0{,}426^\circ\mathrm{C}.
  • Usando \Delta T_f = K_f\, m e K_f = 1{,}86\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\,\mathrm{mol}^{-1}, obtemos a molalidade:
m = \frac{\Delta T_f}{K_f} = \frac{0{,}426}{1{,}86}.
Faço a divisão:
m \approx 0{,}2288\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{kg}^{-1}.
Como há 1{,}00\\ \mathrm{kg} de água, o número total de mols de soluto necessário é
n_{\text{total}} = m \times 1{,}00 = 0{,}2288\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Dados das massas molares (valores convencionais usados em química):
  • Massa molar da sacarose \mathrm{C_{12}H_{22}O_{11}}: M_{\text{sacarose}} \approx 342{,}30\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Massa molar do etilenoglicol \mathrm{C_2H_6O_2}: M_{\text{EG}} \approx 62{,}07\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
    Explico rapidamente: a massa molar é a soma das massas atômicas (C \approx 12{,}01, H \approx 1{,}008, O \approx 16{,}00) multiplicadas pelo número de átomos de cada elemento na fórmula.

Passo 5

Montar a equação que relaciona x (massa de sacarose) com o total de mols exigido.
  • Número de mols de sacarose:
n_{\text{s}} = \frac{x}{342{,}30}.
  • Número de mols de etilenoglicol:
n_{\text{eg}} = \frac{20{,}0 - x}{62{,}07}.
  • A soma deve ser igual ao número total de mols calculado no Passo 3:
\frac{x}{342{,}30} + \frac{20{,}0 - x}{62{,}07} = 0{,}2288.

Passo 6

Resolver a equação para x passo a passo (faça isso na prova sem calculadora com cuidado; aqui mostro as contas claras).
  • Primeiro multiplico os termos numéricos:
\frac{x}{342{,}30} = 0{,}0029208\,x\quad(\text{mol/g}),
\frac{20{,}0 - x}{62{,}07} = 0{,}016113\,(20{,}0 - x).
  • Escrevo a equação:
0{,}0029208\,x + 0{,}016113\times 20{,}0 - 0{,}016113\,x = 0{,}2288.
  • Calculo 0{,}016113\times 20{,}0 = 0{,}32226. Então:
(0{,}0029208 - 0{,}016113)\,x + 0{,}32226 = 0{,}2288.
  • Subtraio 0{,}32226 de ambos os lados:
-0{,}0131922\,x = -0{,}09346.
  • Logo
x = \frac{0{,}09346}{0{,}0131922} \approx 7{,}08\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Converter para percentual em massa de sacarose na mistura de 20{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Percentual em massa:
\%\\ \text{sacarose} = \frac{x}{20{,}0}\times 100\% = \frac{7{,}08}{20{,}0}\times 100\%.
  • Faço a conta:
\%\\ \text{sacarose} \approx 35{,}4\%.

Resposta

35{,}4\%

Exercícios relacionados