Responda, detalhadamente, o que se pede:
Calcular o comprimento de arco dado por x=\frac{1}{2} y^{3}+\frac{1}{6 y}-1,1 \leq y \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
x = \tfrac12\,y^{3} + \tfrac{1}{6y} - 1, \quad 1 \le y \le 3.
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de comprimento de arco para uma curva dada por x=f(y). Precisamos calcular f'(y), montar a integral
L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \bigl(f'(y)\bigr)^{2}}\;dy
e avaliá-la.

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a y:
\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac12\,y^{3} + \tfrac{1}{6y} - 1\Bigr) = \tfrac12\cdot 3y^{2} \;+\; \tfrac{1}{6}\cdot(-1)y^{-2} = \frac{3}{2}\,y^{2} - \frac{1}{6\,y^{2}}.
Colocando sobre denominador comum:
\frac{dx}{dy} = \frac{9y^{4}-1}{6\,y^{2}}.

Passo 3

O comprimento de arco é
L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}}\;dy = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \frac{(9y^{4}-1)^{2}}{36\,y^{4}}}\;dy.
No radicando, colocamos sobre o mesmo denominador:
1 + \frac{(9y^{4}-1)^{2}}{36\,y^{4}} = \frac{36\,y^{4} + (9y^{4}-1)^{2}}{36\,y^{4}} = \frac{81y^{8} - 18y^{4} + 1 + 36y^{4}}{36\,y^{4}} = \frac{(9y^{4}+1)^{2}}{36\,y^{4}}.
Logo
\sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{dx}{dy}\Bigr)^{2}} = \frac{9y^{4}+1}{6\,y^{2}}.

Passo 4

Substituindo na integral,
L = \int_{1}^{3} \frac{9y^{4}+1}{6\,y^{2}}\;dy = \frac{1}{6}\int_{1}^{3} \bigl(9y^{2} + y^{-2}\bigr)\;dy.
Calculamos a antiderivada:
\int \bigl(9y^{2} + y^{-2}\bigr)\;dy = 9\cdot\frac{y^{3}}{3} + \bigl(-y^{-1}\bigr) = 3y^{3} - \frac{1}{y}.
Portanto
L = \frac{1}{6}\,\Bigl(3y^{3} - \tfrac{1}{y}\Bigr)\Bigm|_{1}^{3} = \frac{1}{2}\,y^{3} - \frac{1}{6\,y}\Bigm|_{1}^{3}.

Passo 5

Avaliamo em y=3 e em y=1:
em y=3:
\frac12\cdot 3^{3} - \frac{1}{6\cdot 3} = \frac12\cdot 27 - \frac{1}{18} = \frac{27}{2} - \frac{1}{18} = \frac{243}{18} - \frac{1}{18} = \frac{242}{18} = \frac{121}{9}.
em y=1:
\frac12\cdot 1^{3} - \frac{1}{6\cdot 1} = \frac12 - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}.
A diferença é
L = \frac{121}{9} - \frac{3}{9} = \frac{118}{9}.

Resposta

L = \frac{118}{9}.

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