Responda, detalhadamente, o que se pede:
Calcular o comprimento de arco da curva dada por y=x^{\frac{3}{2}}-4, de A(1,-3) até B(4,4).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = x^{\tfrac{3}{2}} - 4
do ponto A(1,-3) até o ponto B(4,4).
O conteúdo envolve a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x):
L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2}\;dx.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y. Como
y = x^{\tfrac{3}{2}} - 4,
então
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\,x^{\tfrac12}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco com x_1=1 e x_2=4, temos
L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{3}{2}x^{\tfrac12}\Bigr)^2}\;dx = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \tfrac{9}{4}\,x}\;dx.

Passo 4

Dentro do radical:
1 + \tfrac{9}{4}\,x = \frac{4 + 9x}{4},
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\sqrt{1 + \tfrac{9}{4}\,x} = \frac{1}{2}\,\sqrt{9x + 4}.
Portanto
L = \int_{1}^{4} \frac{1}{2}\,\sqrt{9x+4}\;dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} \sqrt{9x+4}\;dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u = 9x+4, de modo que du = 9\,dx e dx = \tfrac{du}{9}.
Quando x=1, u=9\cdot1+4=13.
Quando x=4, u=9\cdot4+4=40.
Assim
L = \frac{1}{2}\int_{u=13}^{40} \sqrt{u}\,\frac{du}{9} = \frac{1}{18}\int_{13}^{40} u^{\tfrac12}\,du.
A primitiva de u^{1/2} é \frac{2}{3}u^{3/2}, então
L = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}}\Big|_{13}^{40} = \frac{1}{27}\Bigl(u^{\tfrac{3}{2}}\Bigr)\Big|_{13}^{40} = \frac{1}{27}\bigl(40^{\tfrac{3}{2}} - 13^{\tfrac{3}{2}}\bigr).

Resposta

L = \frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10} \;-\;13\sqrt{13}\bigr).

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