A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são p_{i}=1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e V_{i}=2,00 \mathrm{~m}^{3}. Qual é o trabalho W realizado pelo gás e qual é a variação \Delta E_{\text {int }} da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume V_{f}=8,00 \mathrm{~m}^{3} ? Suponha que as moléculas giram, mas não oscilam, durante o processo.

Passo 1

O enunciado dá um gás diatômico ideal inicialmente em (p_{i}=1{,}5\times10^{5}\,\mathrm{Pa},\,V_{i}=2{,}00\,\mathrm m^{3}) que se expande adiabaticamente até V_{f}=8{,}00\,\mathrm m^{3}. Queremos o trabalho W realizado pelo gás e a variação da energia interna \Delta E_{\text{int}}. Vamos usar: (i) para um processo adiabático pV^{\gamma}= constante, (ii) o coeficiente adiabático \gamma de um gás diatômico sem vibração, e (iii) a Primeira Lei da Termodinâmica \Delta E = Q - W com Q=0.

Passo 2

Como o gás é diatômico sem grau vibracional, tem f=5 graus de liberdade (3 translacionais +2 rotacionais), logo
\gamma = \frac{f+2}{f} = \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4.

Passo 3

Numa expansão adiabática, o trabalho realizado pelo gás é
W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV = \frac{p_i V_i}{\gamma-1}\Bigl[\,1 - \Bigl(\frac{V_i}{V_f}\Bigr)^{\gamma-1}\Bigr].
Calculando:
\frac{V_i}{V_f} = \frac{2{,}00}{8{,}00} = 0{,}25, \quad (\,0{,}25\,)^{\gamma-1} = (0{,}25)^{0{,}4}\approx0{,}574,
W = \frac{1{,}5\times10^{5}\times2{,}00}{1{,}4-1}\,\bigl(1 - 0{,}574\bigr) = \frac{3{,}0\times10^{5}}{0{,}4}\times0{,}426 = 7{,}5\times10^{5}\times0{,}426 \approx3{,}20\times10^{5}\,\mathrm J.

Passo 4

Como Q=0 (adiabático), a Primeira Lei dá
\Delta E_{\text{int}} = Q - W = 0 - W = -\,W
logo \Delta E_{\text{int}}\approx -3{,}20\times10^{5}\,\mathrm J.

Resposta

W\approx3{,}20\times10^{5}\,\mathrm J,\quad \Delta E_{\text{int}}\approx -3{,}20\times10^{5}\,\mathrm J.

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