Um terreno está submetido à ação de três cargas espaçadas de 2 m uma da outra. As cargas têm intensidade de 640 \mathrm{kN}, 160 \mathrm{kN} e 200 kN respectivamente. Calcule as tensões resultantes na profundidade de um metro nos seguintes pontos:
No ponto B, abaixo da carga de 160 kN ;

Passo 1

O enunciado pede a tensão vertical resultante a uma profundidade de 1\:\mathrm{m} no ponto B, que está exatamente sob a carga de 160\:\mathrm{kN}. O conteúdo requerido é o cálculo de tensão no interior do solo devido a cargas pontuais, usando a solução de Boussinesq e o princípio da superposição de efeitos.

Passo 2

Segundo Boussinesq, a tensão vertical \Delta\sigma_z gerada por uma carga pontual Q sobre um solo homogêneo, a uma profundidade z e a uma distância horizontal r da linha de ação da carga, é dada por:
\Delta\sigma_z = \frac{3\,Q}{2\pi\,z^2}\, \frac{1}{\bigl(1+(r/z)^2\bigr)^{5/2}}.
Como temos três cargas, aplicamos o princípio da superposição somando a contribuição de cada uma.

Passo 3

Identificamos para cada carga Q_i a distância r_i até o ponto B e calculamos \Delta\sigma_{z,i}:
— Para Q_1=640\:\mathrm{kN}, r_1=2\:\mathrm{m}.
— Para Q_2=160\:\mathrm{kN}, r_2=0\:\mathrm{m} (ponto diretamente abaixo).
— Para Q_3=200\:\mathrm{kN}, r_3=2\:\mathrm{m}.
Em todos os casos z=1\:\mathrm{m}, logo:
\Delta\sigma_{z,i} = \frac{3\,Q_i}{2\pi\,(1)^2}\, \frac{1}{\bigl(1+(r_i/1)^2\bigr)^{5/2}}.

Passo 4

Calculando numericamente (em \mathrm{kPa}, pois 1\:\mathrm{kN}/\mathrm{m}^2=1\:\mathrm{kPa}):
Para Q_1=640\:\mathrm{kN}, r_1=2\:\mathrm{m}:
\Delta\sigma_{z,1} = \frac{3\cdot640}{2\pi}\, \frac{1}{\bigl(1+2^2\bigr)^{5/2}} \approx 5,5\:\mathrm{kPa}.
Para Q_2=160\:\mathrm{kN}, r_2=0\:\mathrm{m}:
\Delta\sigma_{z,2} = \frac{3\cdot160}{2\pi} \approx 76,4\:\mathrm{kPa}.
Para Q_3=200\:\mathrm{kN}, r_3=2\:\mathrm{m}:
\Delta\sigma_{z,3} = \frac{3\cdot200}{2\pi}\, \frac{1}{\bigl(1+2^2\bigr)^{5/2}} \approx 1,7\:\mathrm{kPa}.
Somando:
\Delta\sigma_z = 5,5 + 76,4 + 1,7 \approx 83,6\:\mathrm{kPa}.

Resposta

A tensão vertical resultante no ponto B, a 1\:\mathrm{m} de profundidade, é aproximadamente 83{,}6\:\mathrm{kPa}.

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