Sabe-se que 80 \% dos clientes de uma agência bancária são membros da comunidade acadêmica de certa universidade. Se, ao longo de uma jornada diária, um caixa da agência atendeu a 28 clientes,
obtenha a probabilidade que o número de clientes que compõem a comunidade acadêmica, dentre os atendidos pelo caixa, difira de 22 por, no máximo, 1 unidade.

Passo 1

O enunciado trata de um experimento binomial, em que cada cliente atendido pelo caixa tem probabilidade de 0,8 de pertencer à comunidade acadêmica. Foram atendidos n=28 clientes. O que se pede é a probabilidade de o número X de clientes acadêmicos diferir de 22 em, no máximo, uma unidade, isto é, \lvert X-22\rvert\le1.

Passo 2

Definimos
X\sim\text{Binomial}(n=28,\;p=0,8),
e queremos
P(\lvert X-22\rvert\le1)=P(21\le X\le23)=\sum_{k=21}^{23}\binom{28}{k}(0,8)^k(0,2)^{28-k}.

Passo 3

Calculamos cada termo:
\binom{28}{21}(0,8)^{21}(0,2)^{7}\approx0,1404,
\binom{28}{22}(0,8)^{22}(0,2)^{6}\approx0,1787,
\binom{28}{23}(0,8)^{23}(0,2)^{5}\approx0,1866.
Somando, obtemos
P(21\le X\le23)\approx0,1404+0,1787+0,1866=0,5057.

Resposta

P(\lvert X-22\rvert\le1)=\sum_{k=21}^{23}\binom{28}{k}(0,8)^k(0,2)^{28-k}\approx0,506.

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