Preveja a difusividade efetiva de Knudsen e a interdifusividade efetiva para difusão de nitrogênio através do dióxido de carbono em catalisadores de alumina com raios de poro de
e 10
. A difusão ocorre a 298 K e 1 atm . Para um
diâmetro de poro de
, a difusividade Knudsen efetiva compreende que fração da difusividade efetiva total?
Dica: O Coeficiente de interdifusão de Dióxido de Carbono - Nitrogênio está na tabela da questão seguinte.
diâmetro de poro de
Dica: O Coeficiente de interdifusão de Dióxido de Carbono - Nitrogênio está na tabela da questão seguinte.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (explícito e assumido).
- Pede: prever a difusividade efetiva de Knudsen e a interdifusividade efetiva (i.e., difusividade efetiva total que combina difusão molecular e Knudsen) para N2 difundindo através de CO2 em catalisadores de alumina, para poros com raios
- Condições:
e . - Pergunta extra: para um diâmetro de poro de
(logo ), qual fração da difusividade efetiva total é “devida” à difusão de Knudsen?
Informações que não vieram no enunciado e que são necessárias — vou assumir valores típicos e explicitar isso:
- Coeficiente de interdifusão binária (CO
–N ) a 298 K, 1 atm: vou usar , valor típico (a dica dizia que esse valor está na tabela da questão seguinte). - Porosidade e tortuosidade do leito (para obter difusividades efetivas dentro do poro): vou usar
e (valores típicos para pellets de alumina).
Observação: se você tivere diferentes na sua prova/exercício, substitua-os nas fórmulas abaixo; os passos mostram como aplicar.
Constantes e dados usados:
- Constante dos gases:
. - Massa molar do nitrogênio:
.
Passo 2
Fórmula e física por trás da difusão de Knudsen (aula curta e prática).
- Em poros pequenos (quando o comprimento livre médio das moléculas
é comparável ou maior que o raio do poro), as colisões gás–paredes dominam e surge a difusão de Knudsen. Uma expressão prática para o coeficiente de difusão de Knudsen de uma espécie em um tubo capilar de raio é
onde
é a velocidade média molecular (velocidade média de Maxwell) da espécie
.
- A velocidade média molecular é
Aqui
é a constante dos gases,
a temperatura absoluta e
a massa molar da molécula (em
). Vou calcular
para N
a
.
Cálculo de
:
(Detalhe: os números foram substituídos passo a passo:
,
, e a raiz dá
.)
Portanto a constante diante do raio na fórmula de
fica
ou seja, numericamente
(com
em metros e
em
).
Passo 3
Cálculo de
(livre, antes de fatores de porosidade/tortuosidade) para cada raio pedido.
Usando
:
Esses são os
“no poro” ideal. Para obter as difusividades efetivas dentro do material poroso aplica-se o fator geométrico
(próximo passo).
Passo 4
Como combinar difusão molecular (interdifusão) e Knudsen dentro do poro — Bosanquet — e aplicar porosidade/tortuosidade.
- Quando existem ambos os mecanismos (difusão molecular binária e Knudsen) atuando em paralelo em termos de velocidade das moléculas, as resistências se somam (analogia a resistências em série). A expressão de Bosanquet dá a difusividade efetiva no poro:
onde
é a difusividade no poro (antes de multiplicar por
),
é o coeficiente de interdifusão binária livre (aqui
) e
é o valor calculado no passo anterior.
- Para obter a difusividade efetiva do meio poroso (i.e.,quela que aparece nas equações macroscópicas), aplica-se o fator
:
- A “difusividade de Knudsen efetiva” que o enunciado pede interpretarei como
ou seja, o
escalado pelo mesmo fator geométrico (muito usado em problemas de transporte em sólidos porosos).
Passo 5
Cálculos numéricos finais (uso
,
, logo
). Para cada raio vou apresentar
(já obtido),
e a interdifusividade efetiva total
. Vou arredondar os resultados a 3 algarismos significativos.
Combinação Bosanquet:
Observação didática rápida: quando
a difusão molecular domina (o combinado fica próximo de
), e quando
a difusão de Knudsen domina. Nos números acima, para poros maiores (
grande)
é grande e a resistência molecular aparece importante; para poros muito pequenos (
pequeno)
fica pequeno e domina a resistência.
Passo 6
Resposta à pergunta específica: para diâmetro de poro
(logo
) — qual fração da difusividade efetiva total é devida à difusão de Knudsen?
- Primeiro calculei (como antes)
para :
- O
combinado (Bosanquet + ) para este raio é
Agora sobre “fração”: atenção conceitual — existe ambiguidade natural em “que fração … é devida a Knudsen”:
- Se interpretarmos como fração da difusividade efetiva numérica dada por
, obtemos um número maior que 1 (porque é a combinação harmônica e fica menor que ambos os componentes) — esse quociente não tem interpretação física útil como “fração de contribuição” (dá >100%). - A maneira correta e usual de quantificar a “importância” de Knudsen é olhar para as resistências à difusão: a fração da resistência total atribuída à Knudsen é
Isto mede a parcela da resistência total que vem de colisões com a parede (Knudsen). Para
temos
portanto
Interpretação prática: cerca de
da resistência total à difusão (neste caso) vem da difusão de Knudsen — portanto Knudsen domina o processo para esse tamanho de poro.
Resposta
Para
(ou seja
):
-
, . - Fração da resistência total atribuída à difusão de Knudsen:
.