Use a fatoração para obter as raízes dos polinômios a seguir.
f(x)=-x^3+x^2+12 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usarmos fatoração para encontrar as raízes do polinômio . Aqui, estamos lidando com um polinômio de terceiro grau, e nosso objetivo é descobrir quais valores de fazem .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio. Observando os termos, vemos que todos têm um f(x) = -x^3 + x^2 + 12x = x(-x^2 + x + 12) em comum. Então, podemos fatorar o de todos os termos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o que está dentro dos parênteses: -x^2 + x + 12 = -1(x^2 - x - 12) . Para facilitar a fatoração, é bom tornar o coeficiente de f(x) = x(-1)(x^2 - x - 12) = -x(x^2 - x - 12) positivo. Podemos multiplicar todo o parênteses por -1:
Então, nosso polinômio fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o trinômio 3 times (-4) = -12 . Procuramos dois números que multiplicados dão -12 e somados dão -1. Esses números são 3 e -4, porque:
3 + (-4) = -1
x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
Então, podemos escrever o trinômio como:

Passo 5

Substituindo de volta no polinômio original, temos:
f(x) = -x(x - 4)(x + 3)

Resposta

As raízes do polinômio são , e .

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