Para a primeira condição de movimento, calcule qual seria o esforço trator mínimo que deveria ser desenvolvido por uma máquina, para se manter em movimento uniforme, sendo dados:
✓ Peso total da máquina: =50 \mathrm{t}
✓ Rampa ascendente: i=15 \%
\Delta \mathrm{v}=0
✓ Área da seção frontal: \mathrm{S}=6 \mathrm{~m}^{2}
✓ Velocidade de translação: v 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
✓ Coeficiente de rolamento: \mathrm{K}=40 \mathrm{~kg} / \mathrm{t}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o esforço trator mínimo necessário para manter a máquina em movimento uniforme (ou seja, velocidade constante, \Delta v=0) subindo uma rampa com inclinação dada.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{Peso total da máquina } & = 50\\ \mathrm{t} \\\ \text{Rampa (declive) } & = i = 15\% = 0{,}15 \\\ \Delta v & = 0 \\\ \text{Área frontal } & = S = 6\\ \mathrm{m}^2 \\\ \text{Velocidade } & = v = 25\\ \mathrm{km/h} \\\ \text{Coeficiente de rolamento } & = K = 40\\ \mathrm{kg/t} \end{aligned}áÁ
Observação: o enunciado pede apenas o esforço mínimo; para mantê-la em movimento uniforme devemos vencer todas as resistências na direção do movimento (componente do peso na rampa + resistência de rolamento + resistência do ar). O enunciado fornece S e v (úteis para resistência aerodinâmica), mas não fornece o coeficiente aerodinâmico C_d nem a densidade do ar \rho. Vou assumir valores típicos usados em exercícios, explico e justifico isso no passo apropriado.

Passo 2

Converter unidades para o Sistema Internacional e interpretar K.
  1. Massa/peso:
\text{massa } m = 50\\ \mathrm{t} = 50{,}000\\ \mathrm{kg}.
A força peso (módulo) é m g, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  1. Velocidade:
v = 25\\ \mathrm{km/h} = \frac{25}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 6{,}944444\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  1. Interpretação de K: o coeficiente de rolamento foi dado em \mathrm{kg/t}. Isto é uma forma prática que diz: resistência de rolamento (em kgf) = K \times massa em toneladas. Logo:
F_{\text{rol}}(\text{kgf}) = K \cdot (\text{massa em t}) = 40\cdot 50 = 2000\\ \mathrm{kgf}.
Para trabalhar em Newtons convertemos 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}:
F_{\text{rol}} = 2000\cdot 9{,}81 = 19{,}620\\ \mathrm{N}.
(Explicação didática: coeficientes em \mathrm{kgf/t} são comuns na engenharia de veículos; multiplicando pelo número de toneladas obtemos a força em kgf, depois convertemos para N.)

Passo 3

Força de gravidade ao longo da rampa (resistência de aclive)
A inclinação percentual i é \tan(\theta)=i. A componente do peso ao longo da rampa é
F_{\text{incl}} = m g \sin\theta.
Como temos \tan\theta = i, usamos a relação
\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} = \frac{i}{\sqrt{1+i^2}}.
Calcule:
\sin\theta = \frac{0{,}15}{\sqrt{1+0{,}15^2}} = \frac{0{,}15}{\sqrt{1{,}0225}} = \frac{0{,}15}{1{,}011176} \approx 0{,}148387.
Agora:
m g = 50{,}000\cdot 9{,}81 = 490{,}500\\ \mathrm{N},
F_{\text{incl}} = 490{,}500 \cdot 0{,}148387 \approx 72{,}798\\ \mathrm{N}.
(Explicação: fizemos a decomposição do peso na direção da rampa; usar i diretamente como \sin é uma aproximação razoável para pequenas inclinações, mas aqui fizemos a conta exata via relação com \tan.)

Passo 4

Resistência de rolamento (já convertida para N)
Como calculado no passo 2:
F_{\text{rol}} = 19{,}620\\ \mathrm{N}.
(Comentário prático: rolamento é grande porque K=40\\ \mathrm{kg/t} é relativamente alto — máquinas pesadas e pneus grandes têm coeficientes assim.)

Passo 5

Resistência aerodinâmica (força de arrasto)
Fórmula básica:
F_{\text{ar}} = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_d\,S\,v^2,
onde
  • \rho é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^3}),
  • C_d é o coeficiente aerodinâmico (adimensional),
  • S é a área frontal ( \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}).
O enunciado não deu \rho nem C_d. Valores típicos razoáveis para exercícios:
\rho \approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad C_d \approx 0{,}8\\ \text{(valor típico para máquina/grua/tractor)}.íá
(Se você quisesse ser conservador, poderia usar C_d=1{,}0; usar 0{,}8 já é comum e mostra que essa parcela será pequena comparada às anteriores.)
Calculando com esses valores:
v = \frac{25}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s},\qquad v^2 = \frac{625}{12{,}96} \approx 48{,}22530864\\ \mathrm{m^2/s^2}.
F_{\text{ar}} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 0{,}8\cdot 6\cdot 48{,}22530864.
Primeiro simplificando: \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2 = 0{,}6, e 0{,}6\cdot 0{,}8\cdot 6 = 2{,}88.
F_{\text{ar}} = 2{,}88\cdot 48{,}22530864 \approx 138{,}889\\ \mathrm{N}.
(Observação didática: esse valor é pequeno em comparação com as forças de rampa e rolamento; por isso em muitas estimativas rápidas o arrasto é desprezado a baixas velocidades.)

Passo 6

Somando todas as resistências para obter o esforço trator mínimo
Para manter velocidade constante, o esforço trator F_{\text{trator}} mínimo deve equilibrar todas as resistências:
F_{\text{trator}} = F_{\text{incl}} + F_{\text{rol}} + F_{\text{ar}}.
Substituindo os valores:
F_{\text{trator}} \approx 72{,}798 + 19{,}620 + 138{,}889\\ \mathrm{N}.
F_{\text{trator}} \approx 92{,}557{,} \text{(aprox.)}\\ \mathrm{N}.
Convertendo para unidades mais usuais:
F_{\text{trator}} \approx 92{,}6\\ \mathrm{kN}.

Resposta

\displaystyle F_{\text{trator,min}} \approx 9{,}26\times 10^{4}\\ \mathrm{N}

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