Quais as rampas máximas que poderão subir os equipamentos abaixo indicados, quando plenamente carregados, num terreno com coeficiente de aderência
(terra solta) e
, supondo a velocidade constante? (Resistência do ar desprezada).
✓ ‘Motoscraper’ CAT 631 - Peso total carregado: 80 t
✓ Caminhão CAT-769 - Peso total carregado: 62,4 t
✓ Motoscraper CAT-627 (tração nos dois eixos) - Peso total carregado: 62,1 t
✓ ‘Motoscraper’ CAT 631 - Peso total carregado: 80 t
✓ Caminhão CAT-769 - Peso total carregado: 62,4 t
✓ Motoscraper CAT-627 (tração nos dois eixos) - Peso total carregado: 62,1 t
Passo 1
O enunciado pede: determinar as rampas máximas (inclinação máxima que podem subir, em regime de velocidade constante, sem considerar resistência do ar) para três equipamentos carregados, num terreno com coeficiente de aderência
e resistência ao rolamento
. Os pesos fornecidos são:
(Motoscraper CAT 631),
(Caminhão CAT-769) e
(Motoscraper CAT-627, com tração nos dois eixos).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
, e os três pesos citados acima. O enunciado especifica que o CAT-627 tem tração nos dois eixos; os outros dois não têm essa observação. Não há outras informações sobre distribuição de cargas por eixo, então adotaremos a hipótese usual (explicada adiante) sobre fração do peso que atua sobre rodas motrizes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Conceito físico básico (aula rápida e prática):
Quando o veículo está subindo uma rampa com velocidade constante, a força de tração máxima disponível deve equilibrar as resistências que se opõem ao avanço:
Quando o veículo está subindo uma rampa com velocidade constante, a força de tração máxima disponível deve equilibrar as resistências que se opõem ao avanço:
- resistência ao rolamento, proporcional ao peso total: em unidades de
os fabricantes costumam usar em , de modo que a força de rolamento é peso (em toneladas), medida em ; - componente do peso ao longo da rampa, que é a força gravitacional que puxa para baixo pela inclinação: em termos de peso total (em toneladas convertidas para
), essa componente é proporcional a , onde é o ângulo da rampa; - força de tração máxima disponível está limitada pela aderência entre roda e solo: essa força máxima é igual a
(em ) multiplicado pela massa que está sobre as rodas motrizes (em toneladas). Em outras palavras, peso_sobre_rodas_motrizes (unidade ).\n
Resumo em palavras simples: força de tração disponível = adesão × peso sobre as rodas motrizes; forças que têm de ser vencidas = rolamento + peso tangencial (gravidade na rampa). Para subir, tração disponível ≥ resistências.
Passo 3
Modelagem matemática (montando a equação de equilíbrio):
Seja o peso total (em toneladas) do veículo e
a parte desse peso que fica sobre as rodas motrizes (em toneladas). Usando unidades de
por tonelada, a condição de equilíbrio (tração máxima igual às resistências) é:
Seja
Aqui eu usei a convenção comum: 1 tonelada corresponde a
de peso (na prática usa-se
para balancear as unidades com
); portanto a componente da gravidade ao longo da rampa em
é
.\n
Isolando :
Isolando
Podemos escrever usando a fracção
(fração do peso total que atua sobre as rodas motrizes):
Observação importante: note que o peso total
cancela (fica apenas a proporção
), então, para um dado tipo de tração (mesmo
), a rampa máxima independe do valor absoluto do peso. Isso explica por que veículos com mesma configuração de tração têm a mesma rampa máxima, mesmo com pesos diferentes.
Passo 4
Hipóteses sobre
(o que é razoável assumir para esta questão)
O enunciado especifica explicitamente que o tem “tração nos dois eixos” — isto significa que ambas as correntes de rodas (ou ambos os eixos) fornecem tração e, na hipótese simplificadora clássica de repartição de peso uniforme, podemos considerar que a totalidade do peso atua sobre rodas motrizes:
para o CAT-627.\n
Para os outros dois veículos ( e
) o enunciado não menciona “tração nos dois eixos”; assumiremos o caso típico simplificado de um veículo com apenas um eixo motriz (ex.: só o eixo traseiro puxa). Em modelagem elementar, se a distribuição de peso entre eixos for aproximadamente uniforme, a parte do peso sobre o eixo motriz é cerca de metade do peso total; assim adotamos
para esses dois veículos.\n
(Se no seu material de aula houver outra convenção para , substitua
por esse valor na fórmula; o procedimento e a fórmula são os mesmos.)
O enunciado especifica explicitamente que o
Para os outros dois veículos (
(Se no seu material de aula houver outra convenção para
Passo 5
Aplicando a fórmula aos casos com
(CAT-631 e CAT-769):
Temos e
. Para
:
Temos
Agora calculamos a inclinação em percentagem (declive =
). Primeiro obtemos
a partir de
:
Calculemos numericamente:
Portanto a rampa máxima em porcentagem é
Se preferir o ângulo em graus,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao CAT-627 com tração nos dois eixos (
):
Calculemos
:
Rampa máxima em porcentagem:
Ângulo correspondente:
.
Passo 7
Interpretação física e comentário motivador (rápido):
- Como visto, quando a tração está presente apenas num eixo (assumimos metade do peso sobre as rodas motrizes), a rampa máxima é bem menor (~
). Quando a tração usa ambos os eixos, a força de tração disponível cresce (porque a totalidade do peso contribui para adesão) e a rampa máxima sobe muito (~ ).\n - Eh normal sentir-se inseguro com unidades como
; a técnica prática é sempre transformar tudo em força por tonelada (kgf/t) e montar a equação de equilíbrio como fizemos. Você já tem a fórmula pronta para aplicar em outras perguntas: .
Resposta
Motoscraper CAT-631 (80 t, tração num eixo assumida):
(aprox.
).\n
Caminhão CAT-769 (62{,}4 t, tração num eixo assumida): (aprox.
).\n
Motoscraper CAT-627 (62{,}1 t, tração nos dois eixos): (aprox.
).
Caminhão CAT-769 (62{,}4 t, tração num eixo assumida):
Motoscraper CAT-627 (62{,}1 t, tração nos dois eixos):