Quais as rampas máximas que poderão subir os equipamentos abaixo indicados, quando plenamente carregados, num terreno com coeficiente de aderência \mathrm{f}= 450 \mathrm{~kg} / \mathrm{t} (terra solta) e \mathrm{K}=60 \mathrm{~kg} / \mathrm{t}, supondo a velocidade constante? (Resistência do ar desprezada).
✓ ‘Motoscraper’ CAT 631 - Peso total carregado: 80 t
✓ Caminhão CAT-769 - Peso total carregado: 62,4 t
✓ Motoscraper CAT-627 (tração nos dois eixos) - Peso total carregado: 62,1 t

Passo 1

O enunciado pede: determinar as rampas máximas (inclinação máxima que podem subir, em regime de velocidade constante, sem considerar resistência do ar) para três equipamentos carregados, num terreno com coeficiente de aderência \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t} e resistência ao rolamento \mathrm{K}=60\\ \mathrm{kg/t}. Os pesos fornecidos são: \mathrm{W}_{1}=80\\ \mathrm{t} (Motoscraper CAT 631), \mathrm{W}_{2}=62{,}4\\ \mathrm{t} (Caminhão CAT-769) e \mathrm{W}_{3}=62{,}1\\ \mathrm{t} (Motoscraper CAT-627, com tração nos dois eixos).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t}, \mathrm{K}=60\\ \mathrm{kg/t}, e os três pesos citados acima. O enunciado especifica que o CAT-627 tem tração nos dois eixos; os outros dois não têm essa observação. Não há outras informações sobre distribuição de cargas por eixo, então adotaremos a hipótese usual (explicada adiante) sobre fração do peso que atua sobre rodas motrizes.

Passo 2

Conceito físico básico (aula rápida e prática):
Quando o veículo está subindo uma rampa com velocidade constante, a força de tração máxima disponível deve equilibrar as resistências que se opõem ao avanço:
  • resistência ao rolamento, proporcional ao peso total: em unidades de \mathrm{kgf} os fabricantes costumam usar \mathrm{K} em \mathrm{kg/t}, de modo que a força de rolamento é \mathrm{K}\timespeso (em toneladas), medida em \mathrm{kgf};
  • componente do peso ao longo da rampa, que é a força gravitacional que puxa para baixo pela inclinação: em termos de peso total (em toneladas convertidas para \mathrm{kgf}), essa componente é proporcional a \sin(\alpha), onde \alpha é o ângulo da rampa;
  • força de tração máxima disponível está limitada pela aderência entre roda e solo: essa força máxima é igual a \mathrm{f} (em \mathrm{kg/t}) multiplicado pela massa que está sobre as rodas motrizes (em toneladas). Em outras palavras, \mathrm{Tração}_{\max}=\mathrm{f}\timesçãpeso_sobre_rodas_motrizes (unidade \mathrm{kgf}).\n
    Resumo em palavras simples: força de tração disponível = adesão × peso sobre as rodas motrizes; forças que têm de ser vencidas = rolamento + peso tangencial (gravidade na rampa). Para subir, tração disponível ≥ resistências.

Passo 3

Modelagem matemática (montando a equação de equilíbrio):
Seja \mathrm{W} o peso total (em toneladas) do veículo e \mathrm{W}_d a parte desse peso que fica sobre as rodas motrizes (em toneladas). Usando unidades de \mathrm{kgf} por tonelada, a condição de equilíbrio (tração máxima igual às resistências) é:
\mathrm{f}\cdot \mathrm{W}_d = \mathrm{K}\cdot \mathrm{W} + 1000\cdot \mathrm{W}\cdot \sin(\alpha).
Aqui eu usei a convenção comum: 1 tonelada corresponde a 1000\\ \mathrm{kgf} de peso (na prática usa-se \mathrm{kgf} para balancear as unidades com \mathrm{kg/t}); portanto a componente da gravidade ao longo da rampa em \mathrm{kgf} é 1000\cdot \mathrm{W}\cdot \sin(\alpha).\n
Isolando \sin(\alpha):
\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{f}\cdot \mathrm{W}_d - \mathrm{K}\cdot \mathrm{W}}{1000\cdot \mathrm{W}}.
Podemos escrever usando a fracção r=\dfrac{\mathrm{W}_d}{\mathrm{W}} (fração do peso total que atua sobre as rodas motrizes):
\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{f}\cdot r - \mathrm{K}}{1000}.
Observação importante: note que o peso total \mathrm{W} cancela (fica apenas a proporção r), então, para um dado tipo de tração (mesmo r), a rampa máxima independe do valor absoluto do peso. Isso explica por que veículos com mesma configuração de tração têm a mesma rampa máxima, mesmo com pesos diferentes.

Passo 4

Hipóteses sobre r=\dfrac{\mathrm{W}_d}{\mathrm{W}} (o que é razoável assumir para esta questão)
O enunciado especifica explicitamente que o \text{CAT-627} tem “tração nos dois eixos” — isto significa que ambas as correntes de rodas (ou ambos os eixos) fornecem tração e, na hipótese simplificadora clássica de repartição de peso uniforme, podemos considerar que a totalidade do peso atua sobre rodas motrizes: \,r=1 para o CAT-627.\n
Para os outros dois veículos ( \text{CAT-631} e \text{CAT-769}) o enunciado não menciona “tração nos dois eixos”; assumiremos o caso típico simplificado de um veículo com apenas um eixo motriz (ex.: só o eixo traseiro puxa). Em modelagem elementar, se a distribuição de peso entre eixos for aproximadamente uniforme, a parte do peso sobre o eixo motriz é cerca de metade do peso total; assim adotamos \,r=\tfrac{1}{2} para esses dois veículos.\n
(Se no seu material de aula houver outra convenção para r, substitua r por esse valor na fórmula; o procedimento e a fórmula são os mesmos.)

Passo 5

Aplicando a fórmula aos casos com r=\tfrac{1}{2} (CAT-631 e CAT-769):
Temos \mathrm{f}=450\\ \mathrm{kg/t} e \mathrm{K}=60\\ \mathrm{kg/t}. Para r=\tfrac{1}{2}:
\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{f}\cdot r - \mathrm{K}}{1000}=\frac{450\cdot \tfrac{1}{2} - 60}{1000}=\frac{225-60}{1000}=\frac{165}{1000}=0{,}165.
Agora calculamos a inclinação em percentagem (declive = \tan(\alpha)\times 100\%). Primeiro obtemos \tan(\alpha) a partir de \sin(\alpha):
\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}}=\frac{0{,}165}{\sqrt{1-0{,}165^2}}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{1-0{,}165^2}=\sqrt{1-0{,}027225}= \sqrt{0{,}972775}=0{,}98634\\ (\text{aprox.}),
\tan(\alpha)=\frac{0{,}165}{0{,}98634}=0{,}16736\\ (\text{aprox.}).
Portanto a rampa máxima em porcentagem é
100\%\cdot \tan(\alpha)\approx 16{,}74\%.
Se preferir o ângulo em graus, \alpha=\arcsin(0{,}165)\approx 9{,}48^\circ.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao CAT-627 com tração nos dois eixos ( r=1):
\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{f}\cdot 1 - \mathrm{K}}{1000}=\frac{450-60}{1000}=\frac{390}{1000}=0{,}39.
Calculemos \tan(\alpha):
\sqrt{1-0{,}39^2}=\sqrt{1-0{,}1521}=\sqrt{0{,}8479}=0{,}92098\\ (\text{aprox.}),
\tan(\alpha)=\frac{0{,}39}{0{,}92098}=0{,}4236\\ (\text{aprox.}).
Rampa máxima em porcentagem:
100\%\cdot \tan(\alpha)\approx 42{,}36\%.
Ângulo correspondente: \alpha=\arcsin(0{,}39)\approx 22{,}98^\circ.

Passo 7

Interpretação física e comentário motivador (rápido):
  • Como visto, quando a tração está presente apenas num eixo (assumimos metade do peso sobre as rodas motrizes), a rampa máxima é bem menor (~ 16{,}7\%). Quando a tração usa ambos os eixos, a força de tração disponível cresce (porque a totalidade do peso contribui para adesão) e a rampa máxima sobe muito (~ 42{,}4\%).\n
  • Eh normal sentir-se inseguro com unidades como \mathrm{kg/t}; a técnica prática é sempre transformar tudo em força por tonelada (kgf/t) e montar a equação de equilíbrio como fizemos. Você já tem a fórmula pronta para aplicar em outras perguntas: \sin(\alpha)=(\mathrm{f}\,r-\mathrm{K})/1000.

Resposta

Motoscraper CAT-631 (80 t, tração num eixo assumida): 16{,}74\% (aprox. 9{,}48^\circ).\n
Caminhão CAT-769 (62{,}4 t, tração num eixo assumida): 16{,}74\% (aprox. 9{,}48^\circ).\n
Motoscraper CAT-627 (62{,}1 t, tração nos dois eixos): 42{,}36\% (aprox. 22{,}98^\circ).

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