Primeira Prova
Derivar as seguintes funções:
Derivar as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar a função $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $. Isso envolve o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra do Produto, porque temos duas funções multiplicadas: $ e^{t/2} $ e $ 5t - t^2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, $ u(t) \cdot v(t) $, a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada do primeiro termo vezes o segundo, mais o primeiro termo vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $, vamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(t) $ e $ v(t) $.
Passo 4
Vamos derivar $ u(t) = e^{t / 2} $. A derivada de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ k e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. Aqui, $ k = \frac{1}{2} $, então:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(t) = 5t - t^2 $. A derivada de $ at $ é $ a $, e a derivada de $ t^n $ é $ n t^{n-1} $. Aplicando isso:
Passo 6
Agora que temos $ u’(t) $ e $ v’(t) $, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Passo 7
Para simplificar, podemos fatorar $ e^{t / 2} $ em evidência:
Distributivamente dentro do parênteses:
Passo 8
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
E temos:
Passo 9
Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro do parênteses:
Mas para manter a resposta mais clara, vamos deixar na forma anterior.
Resposta
A derivada de $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $ é: