Primeira Prova
Derivar as seguintes funções:
g(t)=e^t / 2(5 t-t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar a função $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $. Isso envolve o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra do Produto, porque temos duas funções multiplicadas: $ e^{t/2} $ e $ 5t - t^2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, $ u(t) \cdot v(t) $, a derivada dessa função é dada por:
u(t) cdot v(t)
Isso significa que a derivada do primeiro termo vezes o segundo, mais o primeiro termo vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $, vamos identificar $ u(t) $ e $ v(t) $:
g(t) = e^t / 2(5 t - t^2)
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(t) $ e $ v(t) $.

Passo 4

Vamos derivar $ u(t) = e^{t / 2} $. A derivada de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ k e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. Aqui, $ k = \frac{1}{2} $, então:
u(t) = e^t / 2

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(t) = 5t - t^2 $. A derivada de $ at $ é $ a $, e a derivada de $ t^n $ é $ n t^{n-1} $. Aplicando isso:
v(t) = 5t - t^2

Passo 6

Agora que temos $ u’(t) $ e $ v’(t) $, vamos aplicar a Regra do Produto:
u'(t)
Substituindo pelos valores que encontramos:
v'(t)

Passo 7

Para simplificar, podemos fatorar $ e^{t / 2} $ em evidência:
e^t / 2
Distributivamente dentro do parênteses:
g'(t) = e^t / 2 ( 12(5t - t^2) + (5 - 2t) )

Passo 8

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
5t2 - 2t = 5t2 - 4t2 = t2
E temos:
g'(t) = e^t / 2 ( t2 - t^22 + 5 )

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro do parênteses:
t2 - t^22 + 5 = t(1 - t)2 + 5
Mas para manter a resposta mais clara, vamos deixar na forma anterior.

Resposta

A derivada de $ g(t) = e^{t / 2}\left(5 t - t^{2}\right) $ é:
g(t) = e^t / 2(5 t - t^2)

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