Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

2. Movimento em Um Plano Sob Força Central

Considere uma partícula de massa m que se move em um plano sob a ação de uma força central F=-hr^2 r, onde h é uma constante positiva, r=|r| a coordenada radial e r=r|r mid| a direção radial. Nesse caso, sabe-se que tanto a energia E quanto o momento angular L=r times p são conservados.
© ( 1,0 ponto) Encontre o período de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Mecânica II! A questão fala sobre uma partícula de massa $ m $ que se move em um plano sob a ação de uma força central $ \vec{F} = -\frac{h}{r^{2}} \hat{r} $. Nosso objetivo aqui é encontrar o período das pequenas oscilações dessa partícula ao redor de um ponto de equilíbrio estável. Para isso, vamos precisar entender conceitos de forças centrais, equilíbrio estável e oscilações harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de equilíbrio. Isso acontece quando a força central é balanceada pela força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular. A força centrípeta é dada por $ \vec{F}_{centrípeta} = \frac{mv^{2}}{r} \hat{r} $, onde $ v $ é a velocidade tangencial.
Igualando as magnitudes das forças:
Fcentrípeta = mv^2r r

Passo 3

Agora, precisamos expressar a velocidade $ v $ em termos do momento angular $ L $. Sabemos que $ L = mvr $, então podemos isolar $ v $:
v
Substituindo $ v $ na equação do passo anterior:
L
Simplificando:
L = mvr

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ r $ no ponto de equilíbrio:
r
Assim,
L^2m r^3 = hr^2 implies L^2m = h r
Esse é o raio de equilíbrio $ r_0 $.

Passo 5

Para encontrar o período das pequenas oscilações, usamos a fórmula do período para oscilações harmônicas simples:
T = 2pi raizmeffk
Aqui, $ m_{eff} $ é a massa efetiva e $ k $ é a constante elástica equivalente, que podemos obter a partir da segunda derivada do potencial efetivo no ponto de equilíbrio.

Passo 6

O potencial efetivo $ U_{eff} $ para uma força central é dado por:
Ueff
Calculando a segunda derivada de $ U_{eff} $ em $ r = r_0 $:
Ueff(r) = -hr + L^22m r^2

Passo 7

Substituindo $ r_0 = \frac{L^{2}}{m h} $ na segunda derivada:
r0 = L^2m h
Simplificando:
d^2Ueffdr^2 g|r = r0 = 2h( L^2m h )^3 + 3L^2m ( L^2m h )^4

Passo 8

Agora, identificamos $ m_{eff} = m $ e $ k = \frac{5m^{3} h{4}}{L{6}} $. Substituindo na fórmula do período:
meff = m

Resposta

O período das pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável é:
T = 2pi L^3raiz5 , m , h^2

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