Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
2. Movimento em Um Plano Sob Força Central
Considere uma partícula de massa
que se move em um plano sob a ação de uma força central
, onde
é uma constante positiva,
a coordenada radial e
a direção radial. Nesse caso, sabe-se que tanto a energia
quanto o momento angular
são conservados.
© ( 1,0 ponto) Encontre o período de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.
© ( 1,0 ponto) Encontre o período de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Mecânica II! A questão fala sobre uma partícula de massa $ m $ que se move em um plano sob a ação de uma força central $ \vec{F} = -\frac{h}{r^{2}} \hat{r} $. Nosso objetivo aqui é encontrar o período das pequenas oscilações dessa partícula ao redor de um ponto de equilíbrio estável. Para isso, vamos precisar entender conceitos de forças centrais, equilíbrio estável e oscilações harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de equilíbrio. Isso acontece quando a força central é balanceada pela força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular. A força centrípeta é dada por $ \vec{F}_{centrípeta} = \frac{mv^{2}}{r} \hat{r} $, onde $ v $ é a velocidade tangencial.
Igualando as magnitudes das forças:
Passo 3
Agora, precisamos expressar a velocidade $ v $ em termos do momento angular $ L $. Sabemos que $ L = mvr $, então podemos isolar $ v $:
Substituindo $ v $ na equação do passo anterior:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ r $ no ponto de equilíbrio:
Assim,
Esse é o raio de equilíbrio $ r_0 $.
Passo 5
Para encontrar o período das pequenas oscilações, usamos a fórmula do período para oscilações harmônicas simples:
Aqui, $ m_{eff} $ é a massa efetiva e $ k $ é a constante elástica equivalente, que podemos obter a partir da segunda derivada do potencial efetivo no ponto de equilíbrio.
Passo 6
O potencial efetivo $ U_{eff} $ para uma força central é dado por:
Calculando a segunda derivada de $ U_{eff} $ em $ r = r_0 $:
Passo 7
Substituindo $ r_0 = \frac{L^{2}}{m h} $ na segunda derivada:
Simplificando:
Passo 8
Agora, identificamos $ m_{eff} = m $ e $ k = \frac{5m^{3} h{4}}{L{6}} $. Substituindo na fórmula do período:
Resposta
O período das pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável é: