Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

5. Oscilador Unidimensional Sob Força Externa

Seja um oscilador unidimensional fracamente amortecido de massa m e frequência própria omega0, sob a ação de uma força externa F ext =F0+F1 sin (omega t), com F0, F1 e omega constantes positivas.
Considerando uma força de amortecimento dada por -b dotx(t), sendo dotx(t) a velocidade do oscilador, com b>0 e omega0>bm, determine:
(a) A posição do oscilador como função do tempo, ou seja, x=x(t), considerando que este parte do repouso na posição de equilíbrio em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre um oscilador unidimensional com amortecimento e força externa. O problema está na área de Mecânica, especificamente sobre sistemas oscilatórios. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para osciladores amortecidos e entender como uma força externa afeta o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para o oscilador. Temos uma massa $ m $ oscilando com frequência própria $ \omega_0 $, sujeita a um amortecimento com constante $ b $ e uma força externa $ F_{ext} = F_0 + F_1 \sin(\omega t) $. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
m
Aqui, $ \ddot{x} $ é a aceleração, $ \dot{x} $ é a velocidade, e $ x $ é a posição.

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo tudo por $ m $:
m
Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular (devido à força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
ddotx + bm dotx + omega0^2 x = 0
Assumimos uma solução da forma $ e^{rt} $ e encontramos os valores de $ r $.

Passo 5

Encontramos o discriminante da equação característica:
r = -bm pm raiz(bm)^2 - 4 omega0^22
Dado que $ \omega_0 > \frac{b}{m} $, o discriminante é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Então, a solução homogênea fica:
omega0 > bm
Onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} $ e $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, encontramos a solução particular. Como a força externa tem uma parte constante $ F_0 $ e uma parte oscilatória $ F_1 \sin(\omega t) $, assumimos que a solução particular também tem essas duas partes:
F0
Substituímos $ x_p(t) $ na equação original e resolvemos para $ C $, $ D $ e $ E $.

Passo 7

Após substituir e igualar os termos, encontramos que:
C = F0m omega0^2
E para os termos oscilatórios:
D = F1/momega0^2 - omega^2
E = b omegam ( omega0^2 - omega^2 )

Passo 8

Então, a solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t) = e^-b2m t ( A cos(omega1 t) + B sin(omega1 t) ) + F0m omega0^2 + F1/momega0^2 - omega^2 sin(omega t) + b omegam (omega0^2 - omega^2) cos(omega t)

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ \dot{x}(0) = 0 $ para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Substituindo $ t = 0 $:
x(0) = 0
E derivando $ x(t) $ e igualando a zero em $ t = 0 $:
dotx(0) = 0
Resolvendo essas equações, encontramos $ A $ e $ B $ em termos das forças e parâmetros do sistema.

Passo 10

Finalmente, substituímos $ A $ e $ B $ de volta na expressão de $ x(t) $ para obter a posição do oscilador em função do tempo.

Resposta

A posição do oscilador em função do tempo é dada por:
x(t) = e^-b2m t [ ( -F0m omega0^2 - b omegam (omega0^2 - omega^2) ) cos(omega1 t) + ( F1 omegam (omega0^2 - omega^2) ) sin(omega1 t) ] + F0m omega0^2 + F1/momega0^2 - omega^2 sin(omega t) + b omegam (omega0^2 - omega^2) cos(omega t)
Onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} $. Essa expressão descreve como a posição do oscilador evolui no tempo, considerando o amortecimento e a força externa aplicada.

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