Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
5. Oscilador Unidimensional Sob Força Externa
Seja um oscilador unidimensional fracamente amortecido de massa
e frequência própria
, sob a ação de uma força externa
, com
e
constantes positivas.
Considerando uma força de amortecimento dada por
, sendo
a velocidade do oscilador, com
e
, determine:
(a) A posição do oscilador como função do tempo, ou seja,
, considerando que este parte do repouso na posição de equilíbrio em
.
Considerando uma força de amortecimento dada por
(a) A posição do oscilador como função do tempo, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre um oscilador unidimensional com amortecimento e força externa. O problema está na área de Mecânica, especificamente sobre sistemas oscilatórios. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para osciladores amortecidos e entender como uma força externa afeta o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para o oscilador. Temos uma massa $ m $ oscilando com frequência própria $ \omega_0 $, sujeita a um amortecimento com constante $ b $ e uma força externa $ F_{ext} = F_0 + F_1 \sin(\omega t) $. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Aqui, $ \ddot{x} $ é a aceleração, $ \dot{x} $ é a velocidade, e $ x $ é a posição.
Passo 3
Vamos simplificar a equação dividindo tudo por $ m $:
Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular (devido à força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma $ e^{rt} $ e encontramos os valores de $ r $.
Passo 5
Encontramos o discriminante da equação característica:
Dado que $ \omega_0 > \frac{b}{m} $, o discriminante é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Então, a solução homogênea fica:
Onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} $ e $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, encontramos a solução particular. Como a força externa tem uma parte constante $ F_0 $ e uma parte oscilatória $ F_1 \sin(\omega t) $, assumimos que a solução particular também tem essas duas partes:
Substituímos $ x_p(t) $ na equação original e resolvemos para $ C $, $ D $ e $ E $.
Passo 7
Após substituir e igualar os termos, encontramos que:
E para os termos oscilatórios:
Passo 8
Então, a solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ \dot{x}(0) = 0 $ para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
Substituindo $ t = 0 $:
E derivando $ x(t) $ e igualando a zero em $ t = 0 $:
Resolvendo essas equações, encontramos $ A $ e $ B $ em termos das forças e parâmetros do sistema.
Passo 10
Finalmente, substituímos $ A $ e $ B $ de volta na expressão de $ x(t) $ para obter a posição do oscilador em função do tempo.
Resposta
A posição do oscilador em função do tempo é dada por:
Onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} $. Essa expressão descreve como a posição do oscilador evolui no tempo, considerando o amortecimento e a força externa aplicada.