Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica
Considere uma partícula de massa
que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica
, onde
é a constante elástica e
a posição da partícula em um eixo.
© ( 0,5 ponto) Mostre que
também pode ser escrito como
, determinando os valores de
e
em termos de
e
.
© ( 0,5 ponto) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica, que é dada por $ F = -k x $. Aqui, $ k $ é a constante elástica e $ x $ é a posição da partícula. O que a gente precisa fazer é mostrar que a posição $ x(t) $ pode ser escrita como uma combinação de cosseno e seno, ou seja:
E também determinar os valores de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ em termos de $ A $ e $ \phi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do movimento para uma partícula sob força elástica é dada pela segunda lei de Newton:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples. A solução geral dessa equação pode ser expressa usando funções trigonométricas, como cosseno e seno, porque elas descrevem movimentos oscilatórios.
Passo 3
A solução geral para $ x(t) $ é:
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilação, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi $ é a fase inicial. Agora, vamos expandir essa expressão usando a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
Passo 4
Substituindo essa expansão na expressão de $ x(t) $, temos:
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Onde:
Resposta
Os valores de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ em termos de $ A $ e $ \phi $ são: