Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica

Considere uma partícula de massa m que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica F=-k x, onde k>0 é a constante elástica e x a posição da partícula em um eixo.
© ( 0,5 ponto) Mostre que x(t) também pode ser escrito como x(t)=A1 cos (omega t)+ A2 sin (omega t), determinando os valores de A1 e A2 em termos de A e phi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica, que é dada por $ F = -k x $. Aqui, $ k $ é a constante elástica e $ x $ é a posição da partícula. O que a gente precisa fazer é mostrar que a posição $ x(t) $ pode ser escrita como uma combinação de cosseno e seno, ou seja:
F = -k x
E também determinar os valores de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ em termos de $ A $ e $ \phi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do movimento para uma partícula sob força elástica é dada pela segunda lei de Newton:
m d^2xdt^2 = -k x
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples. A solução geral dessa equação pode ser expressa usando funções trigonométricas, como cosseno e seno, porque elas descrevem movimentos oscilatórios.

Passo 3

A solução geral para $ x(t) $ é:
x(t)
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilação, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi $ é a fase inicial. Agora, vamos expandir essa expressão usando a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
x(t) = A cos(omega t + phi)

Passo 4

Substituindo essa expansão na expressão de $ x(t) $, temos:
x(t)
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
x(t) = A cos phi cos omega t - A sin phi sin omega t
Onde:
x(t) = A1 cos omega t + A2 sin omega t
A1 = A cos phi

Resposta

Os valores de $ A_{1} $ e $ A_{2} $ em termos de $ A $ e $ \phi $ são:
A1
A2

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