Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

3. Oscilações de um Fio Dobrado

Um fio de arame de comprimento L é dobrado ao meio, formando um ângulo alpha, e é suspenso pelo vértice, oscilando num plano vertical.
(b) ( 1,0 ponto) Calcule o período de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre oscilações de um fio dobrado. O enunciado fala de um fio de arame dobrado formando um ângulo alpha e querendo calcular o período das oscilações pequenas ao redor da posição de equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e movimento de pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema: o fio de comprimento total L é dobrado ao meio, então cada metade tem comprimento L/2. Esse fio está suspenso pelo vértice e oscila num plano vertical, formando um ângulo alpha com cada metade do fio.

Passo 3

Para calcular o período das oscilações, precisamos usar a fórmula do pêndulo físico:
T = 2pi raizIm g d
onde:
  • I é o momento de inércia do sistema em relação ao ponto de suspensão,
  • m é a massa do fio,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • d é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia I. Como o fio está dobrado ao meio, temos duas partes iguais. O momento de inércia de cada metade do fio em relação ao ponto de suspensão é dado por:
Imeio = 13 m (L2)^2 = m L^212
Como são duas metades, o momento de inércia total é:
I = 2 times m L^212 = m L^26

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância d do centro de massa ao ponto de suspensão. Como cada metade tem comprimento L/2 e forma um ângulo alpha, a altura do centro de massa de cada metade é:
h = (L2) cos(alpha2)
Portanto, a distância total do centro de massa é:
d = h = L2 cos(alpha2)

Passo 6

Substituindo I e d na fórmula do período T, temos:
T = 2pi raizm L^26m g (L2 cos(alpha2))
Simplificando os termos, o m se cancela:
T = 2pi raizL3 g cos(alpha2)

Resposta

O período das pequenas oscilações é:
T = 2pi raizL3 g cos(alpha2)

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