Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica

Considere uma partícula de massa m que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica F=-k x, onde k>0 é a constante elástica e x a posição da partícula em um eixo.
(d) ( 0,5 ponto) Mostre que x(t) também pode ser escrito como x(t)=a e^i omega t+b e^-i omega t, determinando os valores de a e b em termos de A e phi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa $ m $ que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica, dada por $ F = -k x $. A questão pede para mostrar que a posição $ x(t) $ da partícula pode ser escrita como uma combinação de exponenciais complexas: $ x(t) = a e^{i \omega t} + b e^{-i \omega t} $. Além disso, precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ em termos da amplitude $ A $ e da fase $ \phi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e fórmulas de exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um movimento harmônico simples, a posição pode ser expressa usando funções trigonométricas, como seno e cosseno. A forma geral é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a famosa fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas:
e^itheta = cos(theta) + isin(theta)
E também:
cos(theta) = e^itheta + e^-itheta2
Isso nos permite reescrever a expressão do movimento em termos de exponenciais complexas.

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno na expressão de $ x(t) $, temos:
x(t)
Simplificando, fica:
x(t) = A cos(omega t + phi) = A ( e^i(omega t + phi) + e^-i(omega t + phi)2 )

Passo 5

Comparando com a forma que a gente quer $ x(t) = a e^{i \omega t} + b e^{-i \omega t} $, podemos identificar os valores de $ a $ e $ b $:
x(t) = a e^i omega t + b e^-i omega t

Resposta

Os valores de $ a $ e $ b $ são:
a

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