Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica
Considere uma partícula de massa
que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica
, onde
é a constante elástica e
a posição da partícula em um eixo.
(d) ( 0,5 ponto) Mostre que
também pode ser escrito como
, determinando os valores de
e
em termos de
e
.
(d) ( 0,5 ponto) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa $ m $ que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica, dada por $ F = -k x $. A questão pede para mostrar que a posição $ x(t) $ da partícula pode ser escrita como uma combinação de exponenciais complexas: $ x(t) = a e^{i \omega t} + b e^{-i \omega t} $. Além disso, precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ em termos da amplitude $ A $ e da fase $ \phi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e fórmulas de exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um movimento harmônico simples, a posição pode ser expressa usando funções trigonométricas, como seno e cosseno. A forma geral é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a famosa fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas:
E também:
Isso nos permite reescrever a expressão do movimento em termos de exponenciais complexas.
Passo 4
Aplicando a fórmula do cosseno na expressão de $ x(t) $, temos:
Simplificando, fica:
Passo 5
Comparando com a forma que a gente quer $ x(t) = a e^{i \omega t} + b e^{-i \omega t} $, podemos identificar os valores de $ a $ e $ b $:
Resposta
Os valores de $ a $ e $ b $ são: