Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
3. Oscilações de um Fio Dobrado
Um fio de arame de comprimento
é dobrado ao meio, formando um ângulo
, e é suspenso pelo vértice, oscilando num plano vertical.
(a) (1,0 ponto) Calcule o momento de inércia do arame dobrado.
(a) (1,0 ponto) Calcule o momento de inércia do arame dobrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fio de arame com comprimento total
que foi dobrado ao meio, formando um ângulo
. Esse fio está suspenso pelo ponto onde foi dobrado e está oscilando em um plano vertical. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia desse arame dobrado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para objetos com geometria específica, como no caso desse fio dobrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma grandeza que expressa a distribuição de massa de um objeto em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia é:
onde
é a distância de um elemento de massa
em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, o fio tem comprimento total
e está dobrado ao meio, formando um ângulo
. Isso significa que cada metade do fio tem comprimento
e forma um ângulo de
com a vertical. Vamos considerar que a massa total do fio é
, e a massa por unidade de comprimento é constante, ou seja,
.
Passo 4
Para calcular o momento de inércia, vamos analisar uma das metades do fio e depois multiplicar por 2, já que as duas metades são iguais. Considere uma pequena seção do fio com comprimento
a uma distância
do ponto de suspensão. A distância
em termos do ângulo será
, onde
varia de 0 a
.
Então, o elemento de massa
é:
O momento de inércia para essa pequena seção é:
Passo 5
Vamos integrar
de
até
para uma metade do fio:
Simplificando:
A integral de
de 0 a
é:
Substituindo de volta:
Como temos duas metades iguais, o momento de inércia total
é:
Resposta
O momento de inércia do arame dobrado é dado por: