Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

3. Oscilações de um Fio Dobrado

Um fio de arame de comprimento L é dobrado ao meio, formando um ângulo alpha, e é suspenso pelo vértice, oscilando num plano vertical.
(a) (1,0 ponto) Calcule o momento de inércia do arame dobrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio de arame com comprimento total L que foi dobrado ao meio, formando um ângulo alpha. Esse fio está suspenso pelo ponto onde foi dobrado e está oscilando em um plano vertical. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia desse arame dobrado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para objetos com geometria específica, como no caso desse fio dobrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma grandeza que expressa a distribuição de massa de um objeto em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia é:
I = integral r^2 , dm
onde r é a distância de um elemento de massa dm em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, o fio tem comprimento total L e está dobrado ao meio, formando um ângulo alpha. Isso significa que cada metade do fio tem comprimento L2 e forma um ângulo de alpha2 com a vertical. Vamos considerar que a massa total do fio é m, e a massa por unidade de comprimento é constante, ou seja, lambda = mL.

Passo 4

Para calcular o momento de inércia, vamos analisar uma das metades do fio e depois multiplicar por 2, já que as duas metades são iguais. Considere uma pequena seção do fio com comprimento dl a uma distância r do ponto de suspensão. A distância r em termos do ângulo será r = l sin(alpha2), onde l varia de 0 a L2.
Então, o elemento de massa dm é:
dm = lambda , dl = mL , dl
O momento de inércia para essa pequena seção é:
dI = r^2 , dm = (l sin(alpha2))^2 cdot mL , dl

Passo 5

Vamos integrar dI de l = 0 até l = L2 para uma metade do fio:
Imeia = integral0^L2 (l sin(alpha2))^2 cdot mL , dl
Simplificando:
Imeia = m sin^2(alpha2)L integral0^L2 l^2 , dl
A integral de l^2 de 0 a L2 é:
integral0^L2 l^2 , dl = [l^33]0^L2 = (L2)^33 = L^324
Substituindo de volta:
Imeia = m sin^2(alpha2)L cdot L^324 = m L^2 sin^2(alpha2)24
Como temos duas metades iguais, o momento de inércia total I é:
I = 2 cdot Imeia = 2 cdot m L^2 sin^2(alpha2)24 = m L^2 sin^2(alpha2)12

Resposta

O momento de inércia do arame dobrado é dado por:
I = m L^2 sin^2(alpha2)12

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