Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica

Considere uma partícula de massa m que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica F=-k x, onde k>0 é a constante elástica e x a posição da partícula em um eixo.
(a) ( 0,5 ponto) Pela segunda lei de Newton, mostre que x(t)=A cos (omega t+phi), com omega=raizkm, é solução da equação do movimento.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a função $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ é uma solução para a equação de movimento de uma partícula sujeita a uma força elástica. A matéria envolvida aqui é a Segunda Lei de Newton e o Movimento Harmônico Simples. Para resolver isso, precisamos aplicar a segunda lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
Onde:
  • $ F $ é a força resultante atuando sobre a partícula,
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ a $ é a aceleração da partícula.
No nosso caso, a força elástica é dada por $ F = -k x $, onde $ k $ é a constante elástica e $ x $ é a posição.

Passo 3

Agora, substituímos a força na segunda lei de Newton:
-m k x = m cdot a
Mas aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
a
Então, a equação fica:
a = d^2 xdt^2

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $:
m
Isso nos dá uma equação diferencial comum no Movimento Harmônico Simples.

Passo 5

Sabemos que a solução geral para essa equação diferencial é da forma:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 6

Vamos verificar se $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ realmente satisfaz a equação de movimento.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Depois, a segunda derivada:
x(t)

Passo 7

Substituindo $ \frac{d^2 x}{dt^2} $ na equação de movimento:
d^2 xdt^2
Podemos simplificar cancelando o termo comum $ -A \cos(\omega t + \phi) $ dos dois lados:
-A omega^2 cos(omega t + phi) = -km A cos(omega t + phi)

Passo 8

Isso confirma que nossa escolha de $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ satisfaz a equação de movimento. Portanto, $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ é realmente uma solução válida para o sistema.

Resposta

Portanto, pela segunda lei de Newton, a função $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $, com $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, é uma solução da equação do movimento para a partícula sob a força elástica $ F = -k x $.

Exercícios relacionados