Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
1. Movimento Unidimensional Sob Força Elástica
Considere uma partícula de massa
que se move em uma dimensão sob a ação de uma força elástica
, onde
é a constante elástica e
a posição da partícula em um eixo.
(a) ( 0,5 ponto) Pela segunda lei de Newton, mostre que
, com
, é solução da equação do movimento.
(a) ( 0,5 ponto) Pela segunda lei de Newton, mostre que
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a função $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ é uma solução para a equação de movimento de uma partícula sujeita a uma força elástica. A matéria envolvida aqui é a Segunda Lei de Newton e o Movimento Harmônico Simples. Para resolver isso, precisamos aplicar a segunda lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz:
Onde:
- $ F $ é a força resultante atuando sobre a partícula,
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ a $ é a aceleração da partícula.
No nosso caso, a força elástica é dada por $ F = -k x $, onde $ k $ é a constante elástica e $ x $ é a posição.
Passo 3
Agora, substituímos a força na segunda lei de Newton:
Mas aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ m $:
Isso nos dá uma equação diferencial comum no Movimento Harmônico Simples.
Passo 5
Sabemos que a solução geral para essa equação diferencial é da forma:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 6
Vamos verificar se $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ realmente satisfaz a equação de movimento.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo:
Depois, a segunda derivada:
Passo 7
Substituindo $ \frac{d^2 x}{dt^2} $ na equação de movimento:
Podemos simplificar cancelando o termo comum $ -A \cos(\omega t + \phi) $ dos dois lados:
Passo 8
Isso confirma que nossa escolha de $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ satisfaz a equação de movimento. Portanto, $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ é realmente uma solução válida para o sistema.
Resposta
Portanto, pela segunda lei de Newton, a função $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $, com $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, é uma solução da equação do movimento para a partícula sob a força elástica $ F = -k x $.