Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
2. Movimento em Um Plano Sob Força Central
Considere uma partícula de massa
que se move em um plano sob a ação de uma força central
, onde
é uma constante positiva,
a coordenada radial e
a direção radial. Nesse caso, sabe-se que tanto a energia
quanto o momento angular
são conservados.
(a) ( 0,5 ponto) Mostre que a energia pode ser escrita como
em que
é a energia potencial efetiva, dada por
com
.
(a) ( 0,5 ponto) Mostre que a energia pode ser escrita como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a energia total $ E $ da partícula pode ser escrita como a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e de uma energia potencial efetiva $ V_{ef}® $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e conservação de momento angular. Precisamos das expressões para a energia cinética em coordenadas polares e entender como a força central influencia na energia total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a velocidade da partícula tem duas componentes: radial ($ \dot{r}
r \dot{\theta} $). A energia cinética total $ T $ é a soma dessas duas componentes:
Aqui, $ \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $ é a energia cinética associada ao movimento radial, e $ \frac{1}{2} m (r \dot{\theta})^2 $ é a energia cinética associada ao movimento angular.
Passo 3
Sabemos que o momento angular $ \vec{L} $ é conservado e dado por:
Como $ L $ é constante, podemos resolver para $ \dot{\theta} $:
Substituindo isso na expressão da energia cinética angular:
Passo 4
Agora, vamos considerar a energia potencial associada à força central. A força dada é $ F = -\frac{h}{r^2} \hat{r} $. A energia potencial $ V® $ está relacionada à força pela relação:
Integrando a força para encontrar $ V® $:
Podemos escolher a constante de integração $ C = 0 $ para simplificar, então:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a energia total $ E $ da partícula é a soma da energia cinética total e da energia potencial:
Podemos reorganizar essa expressão para destacar a energia potencial efetiva $ V_{ef}® $:
Onde:
Resposta
A energia total da partícula pode ser escrita como
onde a energia potencial efetiva é