Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

2. Movimento em Um Plano Sob Força Central

Considere uma partícula de massa m que se move em um plano sob a ação de uma força central F=-hr^2 r, onde h é uma constante positiva, r=|r| a coordenada radial e r=r|r mid| a direção radial. Nesse caso, sabe-se que tanto a energia E quanto o momento angular L=r times p são conservados.
(a) ( 0,5 ponto) Mostre que a energia pode ser escrita como
E=dotr^22+L^22 r^2+Vef(r)
em que V ef (r) é a energia potencial efetiva, dada por
Vef(r)=-hr+L^22 m r^2,
com L=|L|=m r^2 dottheta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a energia total $ E $ da partícula pode ser escrita como a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e de uma energia potencial efetiva $ V_{ef}® $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, energia potencial e conservação de momento angular. Precisamos das expressões para a energia cinética em coordenadas polares e entender como a força central influencia na energia total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a velocidade da partícula tem duas componentes: radial ($ \dot{r} dotr r \dot{\theta} $). A energia cinética total $ T $ é a soma dessas duas componentes:
r dottheta
Aqui, $ \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $ é a energia cinética associada ao movimento radial, e $ \frac{1}{2} m (r \dot{\theta})^2 $ é a energia cinética associada ao movimento angular.

Passo 3

Sabemos que o momento angular $ \vec{L} $ é conservado e dado por:
L
Como $ L $ é constante, podemos resolver para $ \dot{\theta} $:
L = m r^2 dottheta
Substituindo isso na expressão da energia cinética angular:
L

Passo 4

Agora, vamos considerar a energia potencial associada à força central. A força dada é $ F = -\frac{h}{r^2} \hat{r} $. A energia potencial $ V® $ está relacionada à força pela relação:
F = -hr^2 r
Integrando a força para encontrar $ V® $:
V(r)
Podemos escolher a constante de integração $ C = 0 $ para simplificar, então:
F = -dVdr

Passo 5

Agora, juntando tudo, a energia total $ E $ da partícula é a soma da energia cinética total e da energia potencial:
E
Podemos reorganizar essa expressão para destacar a energia potencial efetiva $ V_{ef}® $:
E = T + V = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 - hr
Onde:
Vef(r)

Resposta

A energia total da partícula pode ser escrita como
E = dotr^22 + L^22 m r^2 - hr = dotr^22 + Vef(r)
onde a energia potencial efetiva é
Vef(r) = -hr + L^22 m r^2

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