Primeira Questão( \mathbf{2 , 0} pontos): Calcule, caso exista, o limite da seqüência
\{n-\sqrt{(n-1)(n+2)}\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{n\to\infty}\bigl(n - \sqrt{(n-1)(n+2)}\bigr).
O conteúdo envolve limites de sequências com expressão algébrica e, para encontrar o comportamento dominante, vamos usar a técnica de racionalização.

Passo 2

Racionalizamos subtraindo e somando o conjugado:
n - \sqrt{(n-1)(n+2)} = \frac{n^2 - (n-1)(n+2)}{\,n + \sqrt{(n-1)(n+2)}\,}.
No numerador,
n^2 - (n-1)(n+2) = n^2 - \bigl(n^2 + n - 2\bigr) = -n + 2 = 2 - n.
Logo,
a_n = n - \sqrt{(n-1)(n+2)} = \frac{2 - n}{\,n + \sqrt{n^2 + n - 2}\,} = -\frac{n - 2}{\,n + \sqrt{n^2 + n - 2}\,}.

Passo 3

Para extrair o termo dominante, dividimos numerador e denominador por n:
a_n = -\frac{1 - \tfrac{2}{n}}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{1}{n} - \tfrac{2}{n^2}}\,}.
Ao fazer n\to\infty, temos \tfrac{2}{n}\to0 e o radical tende a \sqrt{1}=1. Assim,
\lim_{n\to\infty}a_n = -\frac{1 - 0}{1 + 1} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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