Questão 4. Calcule as derivadas:
g(x)=\frac{5 x+1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{5x+1}{x^2+1}.
O conteúdo aqui é a regra do quociente, que diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis e
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=5x+1,\quad v(x)=x^2+1.
Suas derivadas são
u'(x)=5,\quad v'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
g'(x) =\frac{5\,(x^2+1)-(5x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
5\,(x^2+1)-(5x+1)\,2x =5x^2+5-10x^2-2x =-5x^2-2x+5.
Logo, a forma simplificada é
g'(x)=\frac{-5x^2-2x+5}{(x^2+1)^2}.

Resposta

g'(x)=\frac{-5x^2-2x+5}{(x^2+1)^2}.

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