Segunda Questão( \mathbf{3 , 0} pontos): Determine se a série converge para um valor maior que um, menor que um, igual a um, ou se diverge.
\sum_{n=7}^{\infty} \frac{100 n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=7}^{\infty} \frac{100\,n}{\bigl(1+n^{2}\bigr)^{2}}
e decidir se ela converge para um valor maior que um, menor que um, igual a um, ou se diverge. O tema aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, usando comparação assintótica (série-p) e, em seguida, estimar alguns termos para ver se a soma passa de 1.

Passo 2

Para grandes n, temos
\frac{100\,n}{\bigl(1+n^{2}\bigr)^{2}} \sim \frac{100\,n}{n^{4}} = \frac{100}{n^{3}}.
Como a série \sum n^{-3} é uma série-p com p=3>1, ela converge. Pelo teste de comparação assintótica, nossa série também converge.

Passo 3

Para saber se a soma é maior ou menor que 1, calculamos a soma parcial até um ponto em que ela ultrapasse 1.
Vamos numerar a_{n} = 100\,n/(1+n^{2})^{2} e computar
S_{N} = \sum_{n=7}^{N} a_{n}.
Calculando numericamente alguns termos: a_{7}=0{,}28,\enspace a_{8}\approx0{,}189,\enspace a_{9}\approx0{,}1338,\enspace a_{10}\approx0{,}0980, a_{11}\approx0{,}0739,\enspace a_{12}\approx0{,}0570,\enspace a_{13}\approx0{,}0450,\enspace a_{14}\approx0{,}0361, a_{15}\approx0{,}0294,\enspace a_{16}\approx0{,}0242,\enspace a_{17}\approx0{,}0202,\enspace a_{18}\approx0{,}0170.
Somando de n=7 até 18:
S_{18}\approx0{,}28+0{,}189+0{,}1338+0{,}0980+0{,}0739+0{,}0570+0{,}0450+0{,}0361+0{,}0294+0{,}0242+0{,}0202+0{,}0170\approx1{,}0028.
Logo, já com 18 termos temos S_{18}>1. Como todos os termos seguintes são positivos, a soma total \displaystyle\sum_{n=7}^{\infty}a_{n} é estritamente maior que S_{18}, ou seja, excede 1.

Resposta

A série converge para um valor maior que um.

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