Terceira Questão(2,5 pontos): Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4 x-3)^{n}}{n^{3}}
Não esqueça de analisar a convergência ou divergência nos extremos do intervalo.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4x-3)^{n}}{n^{3}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de potências: vamos usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio e, em seguida, examinar os extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, note que o n-ésimo termo é
a_n(x) = \frac{(4x-3)^{n}}{n^{3}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n(x)\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|4x-3|}{\bigl(n^{3}\bigr)^{1/n}} =|4x-3|\cdot\lim_{n\to\infty}n^{-3/n} =|4x-3|\cdot1 =|4x-3|.
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de
|4x-3|<1.

Passo 3

A desigualdade |4x-3|<1 equivale a
-1<4x-3<1 \;\Longrightarrow\; 2<4x<4 \;\Longrightarrow\; \tfrac12<x<1.
Como a série é centrada em x_{0}=\tfrac34, o raio de convergência é
R = \frac{1}{4}.

Passo 4

Portanto, o intervalo aberto de convergência é
\Bigl(\tfrac12,1\Bigr).
Agora vamos analisar o comportamento nos extremos x=\tfrac12 e x=1.

Passo 5

No extremo x=\tfrac12, temos 4x-3=-1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}}.
Trata-se de uma série alternada com termos de módulo \tfrac1{n^{3}} que decrescem a zero. Além disso \sum1/n^{3} é convergente p-série com p=3>1. Logo esta série converge (até mesmo absolutamente).

Passo 6

No extremo x=1, temos 4x-3=1 e a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}},
que também converge por ser p-série com p=3>1. Portanto, o intervalo de convergência inclui ambos os extremos.

Resposta

Raio de convergência: R=\tfrac14.
Intervalo de convergência: \bigl[\tfrac12,1\bigr].

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