y^prime+p(x) y^2+q(x) y=R(x)
onde p(x), q(x) e R(x) são contínuas em algum intervalo I da reta e q(x) neq 0 em I é conhecida como a Equação de Ricatti. Se y1(x) é uma solção particular de (*), mostre que a mudança de variável y=y1+1z transforma (*) numa equação linear de 1^a ordem em z. Deduza daí que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Aplique essa técnica para determinar a solução geral das equações:
a) y^prime-x^3 y+x^2 y=1 ; y1(x)=x
b) y^prime-x y^2+(2 x-1) y=x-1 ; y1(x)=1
c) y^prime=-4x^2-1x y+y^2 ; y1(x)=2x
d) y^prime=x^3(y-x)+yx ; y1(x)=x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Ricatti:
y^prime + p(x) y^2 + q(x) y = R(x)
Aqui, p(x), q(x) e R(x) são funções que a gente conhece e são contínuas num intervalo. A pergunta quer que a gente mostre que, se já sabemos uma solução específica dessa equação, dá pra usar uma mudança de variável para transformar tudo numa equação linear de primeira ordem, que é mais fácil de resolver. Depois, vamos aplicar essa técnica no item a) da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variável proposta: y = y1 + 1z, onde y1(x) é uma solução particular da equação original. Isso significa que a gente vai substituir y por essa expressão na equação de Ricatti.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y em relação a x:
y' = y1' + ( 1z )' = y1' - z'z^2

Passo 4

Agora, substituímos y e y' na equação de Ricatti original:
y' + p(x) y^2 + q(x) y = R(x)
Ficando:
y1' - z'z^2 + p(x) ( y1 + 1z )^2 + q(x) ( y1 + 1z ) = R(x)

Passo 5

Expandindo os termos:
y1' - z'z^2 + p(x) ( y1^2 + 2 y1z + 1z^2 ) + q(x) y1 + q(x)z = R(x)

Passo 6

Vamos organizar os termos:
- z'z^2 + p(x) 1z^2 + ( 2 p(x) y1 + q(x) ) 1z + ( y1' + p(x) y1^2 + q(x) y1 ) = R(x)

Passo 7

Sabemos que y1(x) é uma solução particular da equação original, então substituindo y = y1 na equação, temos:
y1' + p(x) y1^2 + q(x) y1 = R(x)
Isso simplifica nossa expressão:
- z'z^2 + p(x) 1z^2 + ( 2 p(x) y1 + q(x) ) 1z = 0

Passo 8

Multiplicando toda a equação por z^2 para eliminar os denominadores:
- z' + p(x) + ( 2 p(x) y1 + q(x) ) z = 0
Rearranjando:
z' = ( 2 p(x) y1 + q(x) ) z + p(x)

Passo 9

Agora, temos uma equação linear de primeira ordem em z:
z' - ( 2 p(x) y1 + q(x) ) z = p(x)

Passo 10

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^-integral ( 2 p(x) y1 + q(x) ) dx
Multiplicamos a equação por mu(x) para simplificar:
mu(x) z' - mu(x) ( 2 p(x) y1 + q(x) ) z = mu(x) p(x)
A esquerda agora é a derivada de mu(x) z:
ddx ( mu(x) z ) = mu(x) p(x)

Passo 11

Integrando ambos os lados:
mu(x) z = integral mu(x) p(x) dx + C
Onde C é a constante de integração. Então, isolamos z:
z = 1mu(x) ( integral mu(x) p(x) dx + C )

Passo 12

Lembrando que:
mu(x) = e^-integral ( 2 p(x) y1 + q(x) ) dx
Finalmente, substituímos z na expressão original para y:
y = y1 + 1z

Passo 13

Agora, vamos aplicar essa técnica no item a) da questão:
y^prime - x^3 y + x^2 y = 1 ; y1(x)=x
Aqui, temos p(x) = -x^3, q(x) = x^2 e R(x) = 1. A solução particular é y1(x) = x.

Passo 14

Primeiro, identificamos os termos para a equação linear em z:
z' = ( 2 p(x) y1 + q(x) ) z + p(x)
Substituindo:
p(x) = -x^3, q(x) = x^2, y1 = x
Então:
2 (-x^3) (x) + x^2 = -2 x^4 + x^2
A equação para z fica:
z' = (-2 x^4 + x^2) z - x^3

Passo 15

Agora, escrevemos a equação na forma padrão:
z' + (2 x^4 - x^2) z = -x^3

Passo 16

Calculamos o fator integrante mu(x):
mu(x) = e^integral (2 x^4 - x^2) dx = e^25 x^5 - 13 x^3

Passo 17

Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
ddx ( mu(x) z ) = -x^3 mu(x)
Integrando ambos os lados:
mu(x) z = -integral x^3 mu(x) dx + C

Passo 18

Para simplificar, consideramos que a integral pode ser complexa, então agrupamos a solução geral:
z = 1mu(x) ( -integral x^3 mu(x) dx + C )

Passo 19

Finalmente, substituímos z na expressão para y:
y = y1 + 1z = x + mu(x)-integral x^3 mu(x) dx + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = x + e^-25x^5 + 13x^3C - integral x^3 e^-25x^5 + 13x^3 dx
Onde C é a constante de integração.

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