onde
e
são contínuas em algum intervalo I da reta e
em I é conhecida como a Equação de Ricatti. Se
é uma solção particular de
, mostre que a mudança de variável
transforma (*) numa equação linear de
ordem em
. Deduza daí que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Aplique essa técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Ricatti:
Aqui,
,
e
são funções que a gente conhece e são contínuas num intervalo. A pergunta quer que a gente mostre que, se já sabemos uma solução específica dessa equação, dá pra usar uma mudança de variável para transformar tudo numa equação linear de primeira ordem, que é mais fácil de resolver. Depois, vamos aplicar essa técnica no item a) da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variável proposta:
, onde
é uma solução particular da equação original. Isso significa que a gente vai substituir
por essa expressão na equação de Ricatti.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação de Ricatti original:
Ficando:
Passo 5
Expandindo os termos:
Passo 6
Vamos organizar os termos:
Passo 7
Sabemos que
é uma solução particular da equação original, então substituindo
na equação, temos:
Isso simplifica nossa expressão:
Passo 8
Multiplicando toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Passo 9
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem em
:
Passo 10
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos a equação por
para simplificar:
A esquerda agora é a derivada de
:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolamos
:
Passo 12
Lembrando que:
Finalmente, substituímos
na expressão original para
:
Passo 13
Agora, vamos aplicar essa técnica no item a) da questão:
Aqui, temos
,
e
. A solução particular é
.
Passo 14
Primeiro, identificamos os termos para a equação linear em
:
Substituindo:
Então:
A equação para
fica:
Passo 15
Agora, escrevemos a equação na forma padrão:
Passo 16
Calculamos o fator integrante
:
Passo 17
Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Passo 18
Para simplificar, consideramos que a integral pode ser complexa, então agrupamos a solução geral:
Passo 19
Finalmente, substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.