Dê uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado pede uma primitiva (ou antiderivada) de
, isto é, uma função
tal que
.
A função dada é
A função dada é
As informações relevantes: queremos uma primitiva de
para as
em que
está definida; a raiz é de índice
(ímpar), então
está definida para todos os
(e na verdade para
a expressão original é problemática porque daria divisão por zero).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever
como potência com expoente racional, que é mais fácil de integrar. A raiz quinta e a potência dão
portanto
Explicação didática: a regra é
. Aqui
e
, então
. A função original é o inverso dessa potência, daí o expoente negativo.
Passo 3
Agora usamos a regra básica de primitivação para potências: se
, então
O que significa cada coisa:
é a potência a integrar;
é o novo expoente; dividimos por esse
porque ao derivar voltaríamos a multiplicar pelo expoente (regra do produto pela potência);
é a constante de integração — toda primitiva é determinada até uma constante.
Passo 4
Aplicamos essa regra ao nosso caso, com
. Primeiro calculamos
:
Portanto, pela fórmula,
Passo 5
Dividir por
é o mesmo que multiplicar pelo inverso
. Logo
Assim uma primitiva é
Passo 6
É útil escrever
também em forma de raiz, para ficar mais “parecido” com o enunciado. Como
, obtemos
Comentário sobre domínio: a forma com potência
é válida para
. A raiz quinta permite valores negativos (raiz de índice ímpar), mas a divisão por
exclui
por causar divisão por zero. Então a primitiva está definida em cada intervalo onde
.
Passo 7
Verificação rápida (para me deixar tranquilo e você também): derivando
usando a regra da potência,
confirmando que
é realmente uma primitiva de
.