Dê uma primitiva de f:
f(x)=1 / \sqrt[5]{x^{7}}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva (ou antiderivada) de f, isto é, uma função F tal que F'(x)=f(x).
A função dada é
f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{7}}}.
As informações relevantes: queremos uma primitiva de f para as x em que f está definida; a raiz é de índice 5 (ímpar), então f está definida para todos os x\neq 0 (e na verdade para x=0 a expressão original é problemática porque daria divisão por zero).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever f como potência com expoente racional, que é mais fácil de integrar. A raiz quinta e a potência dão
\sqrt[5]{x^{7}}=x^{7/5},
portanto
f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{7}}}=x^{-7/5}.
Explicação didática: a regra é \sqrt[n]{x^{m}}=x^{m/n}. Aqui m=7 e n=5, então m/n=7/5. A função original é o inverso dessa potência, daí o expoente negativo.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de primitivação para potências: se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
O que significa cada coisa: x^{n} é a potência a integrar; n+1 é o novo expoente; dividimos por esse n+1 porque ao derivar voltaríamos a multiplicar pelo expoente (regra do produto pela potência); C é a constante de integração — toda primitiva é determinada até uma constante.

Passo 4

Aplicamos essa regra ao nosso caso, com n=-7/5. Primeiro calculamos n+1:
n+1=-\tfrac{7}{5}+1=-\tfrac{7}{5}+\tfrac{5}{5}=-\tfrac{2}{5}.
Portanto, pela fórmula,
\int x^{-7/5}\,dx = \frac{x^{-2/5}}{-2/5}+C.

Passo 5

Dividir por -\tfrac{2}{5} é o mesmo que multiplicar pelo inverso -\tfrac{5}{2}. Logo
\frac{x^{-2/5}}{-2/5} = -\tfrac{5}{2}\,x^{-2/5}.
Assim uma primitiva é
F(x)=-\tfrac{5}{2}\,x^{-2/5}+C.

Passo 6

É útil escrever F também em forma de raiz, para ficar mais “parecido” com o enunciado. Como x^{-2/5} = 1/x^{2/5} = 1/\sqrt[5]{x^{2}}, obtemos
F(x) = -\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}}}+C.
Comentário sobre domínio: a forma com potência x^{-2/5} é válida para x\neq 0. A raiz quinta permite valores negativos (raiz de índice ímpar), mas a divisão por x^{2/5} exclui x=0 por causar divisão por zero. Então a primitiva está definida em cada intervalo onde x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar tranquilo e você também): derivando F usando a regra da potência,
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{5}{2}x^{-2/5}\right) = -\tfrac{5}{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{5}\right)x^{-2/5-1}=x^{-7/5}=f(x),
confirmando que F é realmente uma primitiva de f.

Resposta

-\dfrac{5}{2}\,x^{-2/5}+C

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