Qual a principal vantagem do Método da Posição Falsa em relação ao Método da Bisseção em alguns casos?
Passo 1
O enunciado quer que a gente aponte a vantagem do Método da Posição Falsa sobre o Método da Bisseção em certos casos. Ambos são métodos de subdivisão de intervalo que garantem encontrar uma raiz de
quando
. Vamos revisar rapidamente cada um e depois comparar.
Passo 2
No Método da Bisseção, em cada iteração tomamos o ponto médio
e substituímos o intervalo
por
ou
de acordo com o sinal de
. Isso garante redução do tamanho do intervalo pela metade em toda iteração, mas não usa o “formato” de
dentro do intervalo — só o comprimento do intervalo conta.
Passo 3
No Método da Posição Falsa (ou Regula Falsi) em vez de usar o ponto médio, calculamos o ponto de interseção da reta que une
e
com o eixo
. Ou seja, definimos
Esse
é uma aproximação que leva em conta os valores de
e
, e o novo intervalo continua sendo
ou
conforme o sinal de
, mantendo sempre o critério de mudança de sinal.
Passo 4
Enquanto a Bisseção reduz o erro em função apenas do comprimento do intervalo (
a cada iteração), a Posição Falsa posiciona
mais próximo da raiz quando
é aproximadamente linear no intervalo. Ela “puxa” o ponto de aproximação em direção à raiz real, usando a declividade média de
naquele trecho.
Passo 5
Por causa disso, nos casos em que
varia quase linearmente no intervalo inicial, o Método da Posição Falsa costuma convergir mais rápido do que a Bisseção — ou seja, atinge uma dada precisão com menos iterações. E isso sem perder a garantia de bracketing (manter sempre
).
Resposta
A principal vantagem é que, aproveitando a interpolação linear entre
e
, o Método da Posição Falsa converge mais rapidamente que a Bisseção em muitos casos em que
se comporta quase linearmente no intervalo.