Qual a principal vantagem do Método da Posição Falsa em relação ao Método da Bisseção em alguns casos?

Passo 1

O enunciado quer que a gente aponte a vantagem do Método da Posição Falsa sobre o Método da Bisseção em certos casos. Ambos são métodos de subdivisão de intervalo que garantem encontrar uma raiz de f quando f(a),f(b)<0. Vamos revisar rapidamente cada um e depois comparar.

Passo 2

No Método da Bisseção, em cada iteração tomamos o ponto médio
m = a + b2
e substituímos o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] de acordo com o sinal de f(m). Isso garante redução do tamanho do intervalo pela metade em toda iteração, mas não usa o “formato” de f dentro do intervalo — só o comprimento do intervalo conta.

Passo 3

No Método da Posição Falsa (ou Regula Falsi) em vez de usar o ponto médio, calculamos o ponto de interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Ou seja, definimos
c = a,f(b) - b,f(a)f(b) - f(a)
Esse c é uma aproximação que leva em conta os valores de f(a) e f(b), e o novo intervalo continua sendo [a,c] ou [c,b] conforme o sinal de f(c), mantendo sempre o critério de mudança de sinal.

Passo 4

Enquanto a Bisseção reduz o erro em função apenas do comprimento do intervalo ( tfrac12 a cada iteração), a Posição Falsa posiciona c mais próximo da raiz quando f é aproximadamente linear no intervalo. Ela “puxa” o ponto de aproximação em direção à raiz real, usando a declividade média de f naquele trecho.

Passo 5

Por causa disso, nos casos em que f varia quase linearmente no intervalo inicial, o Método da Posição Falsa costuma convergir mais rápido do que a Bisseção — ou seja, atinge uma dada precisão com menos iterações. E isso sem perder a garantia de bracketing (manter sempre f(a),f(b)<0).

Resposta

A principal vantagem é que, aproveitando a interpolação linear entre (a,f(a)) e (b,f(b)), o Método da Posição Falsa converge mais rapidamente que a Bisseção em muitos casos em que f se comporta quase linearmente no intervalo.

Exercícios relacionados