Em que o Método da Posição Falsa difere do Método da Bisseção em termos de como a nova aproximação é calculada?

Passo 1

O enunciado pergunta como o Método da Posição Falsa difere do Método da Bisseção na forma de calcular a nova aproximação da raiz. Ambos usam um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) têm sinais opostos (por isso garantem a existência de uma raiz), mas a forma de escolher o novo ponto x dentro desse intervalo é diferente.

Passo 2

No Método da Bisseção a cada iteração a nova aproximação é simplesmente o ponto médio do intervalo. Ou seja, dados [a,b] tal que f(a),f(b)<0, define-se
xbis = a+b2
Em seguida avalia-se o sinal de f(xbis) para decidir qual metade [a,xbis] ou [xbis,b] ainda contém a raiz.

Passo 3

Já no Método da Posição Falsa (ou Regula Falsi) a nova aproximação é o ponto em que a reta secante que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) cruza o eixo x. Matematicamente, esse ponto é
xpf = b ;-; f(b),b - af(b) - f(a)
Depois avalia-se o sinal de f(xpf) para atualizar o intervalo mantido o bracket com sinais opostos.

Passo 4

Comparando as duas fórmulas:
  • Na bisseção a escolha de x depende apenas de a e b, sem considerar os valores de f(a) e f(b).
  • Na posição falsa a escolha de x é ponderada pelos valores f(a) e f(b), de modo que o novo ponto tende a ficar mais próximo do extremo onde o valor absoluto de f é menor.

Resposta

A bisseção usa o ponto médio
xbis = a+b2,
enquanto a posição falsa usa a interseção da reta secante
xpf = b - f(b),b - af(b) - f(a)

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