Para a função f(x)=x^2-2, aplique duas iterações do Método da Posição Falsa no intervalo [1, 2].

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=x^2-2
no intervalo [1,2] usando duas iterações do Método da Posição Falsa. Esse método aproveita a idéia de interpolação linear entre os pontos extremos a e b onde f(a)cdot f(b)<0. A cada iteração calculamos
xnovo=a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a)
e substituímos um dos extremos pelo ponto xnovo conforme o sinal de f(xnovo).

Passo 2

Primeiro, avaliamos
,f(1)=1^2-2=-1 e ,f(2)=2^2-2=2, garantindo mudança de sinal em [1,2].
Aplicando a fórmula para obter x1:
x1=1cdot f(2)-2cdot f(1)f(2)-f(1) =1cdot 2 - 2cdot(-1)2 - (-1) =43

Passo 3

Calculamos
fl(x1r)=l(tfrac43r)^2-2=169-2=-29
Como f(x1) e f(2) têm sinais opostos, o novo intervalo é
[a1,b1]=l[tfrac43,,2r]

Passo 4

Na segunda iteração, usamos a1=tfrac43, b1=2, f(a1)=-tfrac29 e f(b1)=2. Assim,
x2 =a1,f(b1)-b1,f(a1)f(b1)-f(a1) =tfrac43cdot 2 - 2cdotl(-tfrac29r)2 - l(-tfrac29r) =tfrac83+tfrac49tfrac209 =tfrac289tfrac209 =2820 =75

Passo 5

Avaliamo
fl(x2r)=l(tfrac75r)^2-2 =4925-2 =-125,
e vemos que f(x2) e f(2) têm sinais opostos, definindo o novo intervalo l[7/5,2r], mas como pedem só duas iterações, paramos aqui.

Resposta

Após duas iterações do Método da Posição Falsa no intervalo [1,2], obtemos as aproximações
x1=43approx1,3333, x2=75=1,4

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