Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas urnas, desde que nenhuma urna fique vazia. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, escolher uma bola. Se a bola for branca ele será libertado e, se for preta, será condenado… Como deve agir o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado?
Passo 1
Então, temos um prisioneiro com 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas iguais. Ele precisa distribuir as bolas nas urnas de forma que nenhuma urna fique vazia. Depois, de olhos fechados, ele vai escolher uma urna e, dentro dela, uma bola. Se for branca, ele é libertado; se preta, condenado. Nosso objetivo é descobrir como ele deve distribuir as bolas nas urnas para aumentar ao máximo suas chances de ser libertado. Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a probabilidade de ser libertado depende de como as bolas são distribuídas nas urnas. Precisamos calcular a probabilidade total de tirar uma bola branca, considerando as duas urnas.
Passo 3
Vamos supor que na Urna 1 colocamos $ x $ bolas brancas e $ y $ bolas pretas, e na Urna 2 colocamos $ 50 - x $ bolas brancas e $ 50 - y $ bolas pretas. Como o prisioneiro escolhe uma urna aleatoriamente, cada urna tem uma probabilidade de $ \frac{1}{2} $ de ser escolhida.
Passo 4
A probabilidade de tirar uma bola branca da Urna 1 é $ \frac{x}{x + y} $ e da Urna 2 é $ \frac{50 - x}{100 - x - y} $. A probabilidade total de ser libertado é a soma das probabilidades de tirar uma bola branca de cada urna multiplicadas pela probabilidade de escolher cada urna:
Passo 5
Para maximizar $ P $, queremos que pelo menos uma das urnas tenha a maior probabilidade possível de retirar uma bola branca. A melhor estratégia é colocar uma única bola branca em uma urna e todas as outras bolas na outra urna.
Passo 6
Assim, na Urna 1 colocamos 1 bola branca e 0 bolas pretas. Na Urna 2, colocamos as 49 bolas brancas e as 50 bolas pretas restantes.
Passo 7
Calculando a probabilidade:
- Urna 1: Apenas 1 bola branca, então a probabilidade de tirar branca é $ 1 $.
- Urna 2: 49 bolas brancas e 50 bolas pretas, totalizando 99 bolas. A probabilidade de tirar branca é $ \frac{49}{99} $.
Então,
Resposta
Para maximizar suas chances de ser libertado, o prisioneiro deve colocar uma única bola branca em uma urna e todas as demais bolas (49 brancas e 50 pretas) na outra urna. Dessa forma, a probabilidade de ser libertado é de aproximadamente 74,7%.