Três jogadores, A, B e C, disputam um torneio. Os três têm probabilidades iguais de ganhar o torneio; têm também probabilidades iguais de tirarem o segundo lugar e têm probabilidades iguais de tirarem o último lugar. É necessariamente verdadeiro que cada uma das seis ordens possíveis de classificação dos três jogadores tem probabilidade 16 de ocorrer? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade em um torneio com três jogadores: A, B e C. A pergunta é se, sabendo que cada um tem chances iguais de ganhar, ficar em segundo lugar e ficar por último, cada uma das seis possíveis ordens de classificação tem necessariamente uma probabilidade de 16. Para responder isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e entender como calcular a chance de cada ordem acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis ordens de classificação dos três jogadores. Como são três jogadores, as possíveis sequências são:
  1. A primeiro, B segundo, C último (A-B-C)
  2. A primeiro, C segundo, B último (A-C-B)
  3. B primeiro, A segundo, C último (B-A-C)
  4. B primeiro, C segundo, A último (B-C-A)
  5. C primeiro, A segundo, B último (C-A-B)
  6. C primeiro, B segundo, A último (C-B-A)
Então, temos 6 possíveis maneiras de classificar os jogadores.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas ordens ocorrer. Sabemos que cada jogador tem a mesma chance de ficar em qualquer posição. Vamos começar com a primeira posição.
A probabilidade de qualquer um dos três jogadores (A, B ou C) ganhar o torneio é igual, ou seja, 13.
Depois que o primeiro colocado é definido, restam dois jogadores para a segunda posição. A probabilidade de qualquer um dos dois restantes ficar em segundo lugar é 12.
Finalmente, quem sobra automaticamente fica na última posição, com probabilidade 1.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de uma ordem específica acontecer, multiplicamos as probabilidades de cada etapa:
Probabilidade de A-B-C = 13 times 12 times 1 = 16
O mesmo cálculo vale para todas as outras ordens:
Probabilidade de A-C-B = 13 times 12 times 1 = 16
Probabilidade de B-A-C = 13 times 12 times 1 = 16
Probabilidade de B-C-A = 13 times 12 times 1 = 16
Probabilidade de C-A-B = 13 times 12 times 1 = 16
Probabilidade de C-B-A = 13 times 12 times 1 = 16

Resposta

Sim, cada uma das seis ordens possíveis de classificação dos três jogadores tem necessariamente uma probabilidade de 16 de ocorrer.

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